勒贝格积分是20世纪初由法国数学家昂利·勒贝格提出的一种积分理论，它把积分运算推广到更一般的测度空间上。与黎曼积分按自变量区间划分求和的思路不同，勒贝格积分的做法是先按函数取值的范围把定义域划分成若干可测集，用这些集合的测度与相应函数值相乘再求和。这一改变扩大了可积函数的范围，并使积分与极限交换顺序的条件大为放宽，成为实变函数论与现代分析的基础工具。
定义
勒贝格积分是在测度空间上对可测函数定义的一种积分。设 $(E,X,\mu)$ 是一个测度空间，其中 $E$ 是集合，$X$ 是由 $E$ 的子集构成的 $\sigma$ 代数，$\mu$ 是定义在 $X$ 上的测度，只有对所谓可测的函数才能进行勒贝格积分[1]。若对每个区间，其在函数 $f$ 下的原像都是 $E$ 中的可测集合，则称 $f$ 为可测函数[1]。
勒贝格积分这一名称有狭义与广义两种用法。广义指在一般测度空间的子集合上对函数的积分，此时所用的测度不一定是勒贝格测度；狭义则指在实数轴或更高维欧几里得空间的子集上、关于勒贝格测度的积分[2]。它是黎曼积分的重要推广，也是分析数学中普遍使用的重要工具[3]。
原理
勒贝格积分理论通常分成两部分讲述：一部分是可测集以及在这些集合上进行的测量理论，另一部分是可测函数以及对这类函数积分的理论[1]。测度理论最初是为了仔细分析欧几里得空间中直线的长度，以及更一般地讨论欧几里得空间子集的面积和体积而发展起来的，它可以为实数集的哪些子集拥有长度这一问题提供系统回答[1]。集合论后来的发展表明，不可能给实数集的所有子集都分配长度，同时保持可加性与平移不变性，因此确定一个合适的可测子集类是积分的前提[1]。
积分的构造从简单函数开始。只取有限个非负常数值的函数称为简单函数，若其取值为 $a_1,\dots,a_k$，对应集合为 $A_i=\{x:f(x)=a_i\}$，则它在集合 $B$ 上的积分为 $\int_B f\,d\lambda=\sum_{i=1}^{k}a_i\lambda(B\cap A_i)$[4]。对一般的非负可测函数，则用单调递增的简单函数列去逼近，以这列函数积分的极限作为该函数的积分[5]。
对定义在有限测度可测集上的有界可测函数 $f$，其勒贝格积分等于所有不小于 $f$ 的简单函数 $\psi$ 的积分之下确界，即 $\int_E f(x)\,dx=\inf\int_E \psi(x)\,dx$[6]。取值有正有负的可测函数，先分解为 $f=f^+-f^-$ 两个非负部分，再分别积分相减；复值函数则对实部与虚部分别积分[4]。
两种积分的直观差别在于划分方式。黎曼积分要求用区间作划分，勒贝格积分允许用任意可测集作划分，因此可积的函数更多[7]。勒贝格本人对此的比喻是：黎曼积分像把口袋里的钱按碰到一张付一张的顺序交出，勒贝格积分则先把同面额的钱币归拢，再一并支付[8]。
发展历程
1854 年，波恩哈德·黎曼定义了黎曼积分，为此前的积分运算提供了稳固的基础[3]。黎曼积分的出发点是构造一系列容易计算的面积，并让这些面积收敛到给定函数的积分，这一做法在许多问题上取得了成功[1]。但在求函数序列的极限时，黎曼积分效果不佳，相关极限过程难以分析，而这在研究傅里叶级数与傅里叶变换等问题时极为重要[1]。
19 世纪末，分析的严格化促使数学家认真考虑不连续函数、不可微函数的积分问题，即积分的概念可以向怎样更广的函数类推广[3]。1898 年，法国数学家波莱尔的测度论问世[3]。1902 年，昂利·勒贝格在其博士论文《积分，长度与面积》中建立了测度论与积分论，使一些原先在黎曼意义下不可积的函数按勒贝格的意义变得可积[3]。
此后，勒贝格又综合黎曼-斯蒂尔杰斯积分的思想，得到勒贝格-斯蒂尔杰斯积分；20 世纪初，这一理论进一步发展为建立在一般集合上的测度与积分理论，即测度论[3]。由此形成了一门新的学科实变函数论，勒贝格之前与分析之后的分析学因此被分别称为经典分析与现代分析[3]。
在发展过程中，这套理论的影响超出了积分学本身。20 世纪，波兰数学家斯特凡·巴拿赫、胡戈·斯坦豪斯等把相应的函数空间命名为勒贝格空间，以纪念其思想的启发作用；法国数学家让·勒雷则用勒贝格积分定义了数学物理中关键方程的不规则解[8]。勒贝格积分理论如今在世界各地讲授，已成为科学的支柱之一[8]。
应用
勒贝格积分在实分析以及其他许多数学领域占有重要地位[2]。以它为基础定义的 $L^p$ 空间是泛函分析的基本对象：满足 $\int_a^b|f(t)|^2\,dt<\infty$ 的可测函数构成空间 $L_2(a,b)$，在其中可以引入内积，从而成为欧几里得式的空间[9]。许多拓扑向量空间（例如希尔伯特空间、巴拿赫空间）中的定理及其极限运算，借助勒贝格积分得到了大幅度简化[2]。
在概率论方面，测度论构成了现代概率论的基础，勒贝格积分为处理不规则函数的积分提供了手段，这正符合概率论的需求[10][1]。在实际计算层面，勒贝格积分保持了黎曼积分在几何直观和计算上的有效性，同时允许先用阶梯函数的级数去逼近被积函数再取极限[3]。
交换积分与极限的顺序是应用中最常遇到的问题。勒贝格积分理论给出了单调收敛定理、控制收敛定理和法图引理等结果，它们分别给出在何种条件下可以交换极限与积分[10]。这类结论在傅里叶级数理论与傅里叶变换的研究中尤其重要[1]。
局限
勒贝格积分并不能对区间的所有子集都给出定义。集合论的结果显示，不可能为实数集的所有子集分配长度，同时保持天然的可加性与平移不变性，因此必须先指定一个合适的可测子集类[1]。只有可测函数才谈得上勒贝格积分[1]。
从可积函数类来看，勒贝格积分虽然比黎曼积分更广，但仍然存在不可积的函数。例如 $f(t)=t^{-\alpha}$（$\alpha>1$）在含奇点的区间上不可积，因为逼近它的函数列的积分并不有界[9]。对可积性的判定也需按绝对值处理：取值可正可负的可测函数只有在其绝对值可积时才称为可和的[9]。
两者关系上有一点常被误解。把函数的值域划分会诱导出定义域上的划分，但黎曼积分与勒贝格积分的真正差别在于勒贝格积分使用了更为精细的直线上的长度概念，而不仅仅是从划分值域变为划分定义域[11]。就一致收敛而言，黎曼积分也并非全无可用之处：当函数列一致收敛时，它同样可以交换极限与积分[10]。
参见
参考资料
- [科普中国]-勒贝格-斯蒂尔杰斯积分 [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-勒贝格不定积分 [引用日期2026-10-14]
- 图文详情——科普中国资源服务 [引用日期2026-10-14]
- arxiv.org 上的网页 [引用日期2026-10-14]
- Kapitel 13 [引用日期2026-10-14]
- 16-实分析(中文版.原书第3版)-[美]H.L.Royden-机械工业出版社-2006_text(PDF) [引用日期2026-10-14]
- Example [引用日期2026-10-14]
- AMS :: Notices of the American Mathematical Society [引用日期2026-10-14]
- CONICET_Digital_Nro.ba329117-ad03-4a0b-8aef-dfab421b77d3_B(PDF) [引用日期2026-10-14]
- Introduction_to_functional_analysis_18_102(PDF) [引用日期2026-10-14]
- sciencedirect.com 上的网页 [引用日期2026-10-14]