定义
勒贝格测度是对欧几里得空间子集指定“大小”的一种方式，其目标是为直线上哪些子集拥有长度提供一个系统性的回答[1]。对于区间 (a,b) 或 [a,b]，其勒贝格测度等于区间长度 b−a；开区间与闭区间的测度相同，因为两者的差集是零测集[1]。在 Rⁿ 上，测度可以取到值 +∞[1]。
可测性的经典定义参考了内测度与外测度：把所有包含 E 的开集的测度取下确界得到外测度，把含于 E 中的闭集的测度取上确界得到内测度；当两者相等时，称 E 为勒贝格可测集，其共同值即 E 的测度[2]。后来通行的等价定义来自卡拉西奥多里条件：若对任意点集 T 都有外测度满足可加性分解，则称该集可测[2]。
勒贝格可测集全体构成一个 σ 代数，其中包含所有区间及其笛卡尔积；勒贝格测度是定义在其上唯一的完备、平移不变的测度[1]。该测度还是 σ 有限的[1]。
原理
构造勒贝格测度的第一步是定义外测度。对任意集合 A，用它被可数个区间覆盖时各区间长度之和取下确界，所得即勒贝格外测度 $m^*(A)=\inf\sum \ell(I_n)$[3]。外测度满足单调性与次可数可加性，但不一定满足可数可加性[4]。
为获得可加性，需要把外测度限制到较小的集类上，即满足卡拉西奥多里条件的勒贝格可测集[4]。卡拉西奥多里定理指出，满足该条件的集合全体构成 σ 代数，外测度限制在这一 σ 代数上便成为一个完备测度[5]。
这一构造可用如下流程概括：
flowchart LR
A[区间长度] --> B[外测度 m*]
B --> C[卡拉西奥多里条件]
C --> D[勒贝格可测集 σ 代数]
D --> E[勒贝格测度 λ]
勒贝格测度具有若干基本性质：可数个两两不交的可测集之并，其测度等于各集测度之和；可测集的补集仍可测；测度单调不减；可数多个可测集的交或并仍可测[1]。零测集的任意子集仍是零测集，所有可数集都是零测集[1]。测度在平移下不变，在线性变换下按变换行列式的绝对值缩放[1]。
发展历程
19 世纪微积分进入严密化阶段，黎曼于 1854 年引入以其命名的积分，其适用范围主要限于连续函数。随着魏尔斯特拉斯、康托尔等人工作的出现，许多性质不规则的函数暴露了黎曼积分的局限，促使人们把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上。
1898 年，波莱尔关于点集测度的新方法对勒贝格产生了直接影响。勒贝格在 1902 年的博士论文《积分、长度、面积》中建立了以测度论为基础的积分理论，此前他已在 1901 年描述了测度、在 1902 年描述了积分[1]。
勒贝格本人给出的可测性定义使用了内测度与外测度，直观但使用不便[2]。1914 年，卡拉西奥多里对外测度作了深入研究后给出另一种可测性定义，它与勒贝格的定义等价，并成为建立抽象测度论的有力工具[2]。这一新框架使测度概念从欧几里得空间推广到一般集合，逐步发展出测度论[6]。
应用
勒贝格测度广泛用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分[1]。在勒贝格理论中，只有对可测函数才能进行积分；黎曼可积的函数都勒贝格可积且积分值相同，但反之不成立。
以勒贝格测度为基础，可以建立 Lp 空间，这些空间是完备的巴拿赫空间，构成泛函分析的基本框架。勒贝格积分与测度理论还统一处理了傅里叶级数，勒贝格本人曾把这一理论应用于三角级数与傅里叶变换[7]。
测度论也是现代概率论的基础，概率空间中的概率测度即为满足全空间测度为 1 的测度，随机变量则对应可测函数。此外，测度论方法还延伸到抽象积分、谱测度与索伯列夫空间等领域。
局限
勒贝格测度不能定义在欧几里得空间的所有子集上，存在勒贝格不可测集[3]。由于不存在满足区间长度、平移不变与可数可加性且对一切子集有定义的测度，人们只能把测度限制在可测集构成的集类上[8]。
维塔利集的构造表明，在承认选择公理的前提下存在非勒贝格可测的实数子集[9]。它与巴拿赫-塔斯基分球定理相关联，后者说明三维单位球可以经有限分割和平移旋转重组为两个同样的球，其中各分块必然是勒贝格不可测的[10]。索洛韦的定理则表明，仅依赖可数选择的公理体系下，可以存在使实数的一切子集都勒贝格可测的模型[10]。
可测性还有其它边界。若 E 是可测集而 T 只是连续变换，T(E) 未必可测，康托尔-勒贝格函数即是反例[9]。此外，非负可测函数的勒贝格积分可能取 +∞，只有在绝对值积分有限时才称得上通常意义的可积[7]。
参见
参考资料
- [科普中国]-勒贝格测度 [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-勒贝格可测集 [引用日期2026-10-14]
- Outline Lebesgue outer measure [引用日期2026-10-14]
- **Example 67**: \(f_{n}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) _s [引用日期2026-10-14]
- ustc.edu.cn 上的文件 [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-测度论 [引用日期2026-10-14]
- glossaire-lebesgue-henri [引用日期2026-10-14]
- Chapter 2 Lebesgue Measure [引用日期2026-10-14]
- **Translation invariance [引用日期2026-10-14]
- integration-probabilites(PDF) [引用日期2026-10-14]