法图引理是测度论中一条关于积分的不等式型引理，它指出：对一列非负可测函数，先把函数列逐点取下极限再积分，所得结果不会大于先对每个函数积分、再对积分值取下极限所得的结果。该引理以法国数学家 皮埃尔·法图 命名，最早出现在他 1906 年的博士论文中，可用于证明 勒贝格控制收敛定理 等结论。引理不要求函数列单调或收敛，适用范围较广，但它只提供单侧的不等式。
定义
法图引理讨论的是定义在 测度空间 (S, Σ, μ) 上的一列非负 可测函数。设 {f_n} 中每个 f_n 取值于 [0, +∞]，则函数列的 下极限 与各函数积分满足 $\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n \, d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n \, d\mu$。式中下极限按逐点方式计算，不等式两端的积分都允许取无穷大。[1][2]
把上述函数换成集合的指示函数，就得到引理的集合形式：对一列可测集 A_n，成立 μ(liminf A_n) ≤ liminf μ(A_n)。[3] 此外，只要函数列有一个可积的下界 g，即 f_n ≥ g 对每个 n 成立且 g 的积分有限，不等式依然成立；在函数列逐点收敛或依测度收敛的情形下，也可得到相应结论。[1][4]
原理
常见的证明思路是先对函数列逐段取下确界，再借助 单调收敛定理 过渡到极限。对每个 k 定义 g_k(x) 为 f_k(x), f_{k+1}(x), … 的下确界，则 g_k 随 k 逐点不减，且其极限正好是 liminf f_n。[5][6] 对任意 n ≥ k 都有 g_k 不超过 f_n，因此 $\int g_k \, d\mu \le \inf_{n\ge k}\int f_n \, d\mu$；对 g_k 应用单调收敛定理并令 k 趋于无穷，即得所需的不等式。[6][7]
上述推理可用如下流程表示。
graph LR
A[非负可测函数列 f_n] --> B[定义 g_k 为第 k 项之后各函数的下确界]
B --> C[g_k 逐点不减并趋于 liminf f_n]
C --> D[对 g_k 应用单调收敛定理]
D --> E[得到 ∫ liminf f_n dμ ≤ liminf ∫ f_n dμ]
引理在逻辑上并不依赖单调收敛定理，用后者只是把证明过程简化；也可以直接从积分的定义出发给出证明。[2]
发展历程
法图引理得名于法国数学家、天文学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou，1878—1929）。他于 1906 年完成博士论文《三角级数与泰勒级数》，该文同年发表于 Acta Mathematica 第 30 卷，印刷日期为 1906 年 11 月 29 日。[8]
这篇论文是把 勒贝格积分 用于具体分析问题的早期工作之一，研究对象是单位圆盘上的解析函数与调和函数，法图在文中还考察了单位圆上任意测度的泊松积分；他的这项研究受到 1901 年提出新积分理论的亨利·勒贝格的影响。[8] 引理后来成为测度论的基本工具，通常与单调收敛定理、控制收敛定理一同讲授，也有教材把它称为法图定理。[5]
应用
在测度论中，法图引理的一个直接用途是证明勒贝格控制收敛定理与法图-勒贝格定理。[1][2] 它还可以用来判断积分为零的情形：非负可测函数 f 满足积分为 0，当且仅当 f 几乎处处等于 0。[9]
把测度取为概率测度、积分理解为 期望，引理写成 E[liminf X_n] ≤ liminf E[X_n]，其中 X_n 为非负随机变量；若存在可积随机变量 Z 使 X_n ≥ Z 对每个 n 成立，非负性条件可以放宽。这一形式常用来讨论极限运算与期望运算能否交换。[10] 对条件期望也有相应版本。[11]
引理还有若干推广形式。对弱收敛的测度列，在一致可积等附加条件下可以建立测度与函数同时变动的相应不等式；[12] 在向量格与序积分的框架下，引理同样有对应的表述。[13]
局限
引理给出的是单侧不等式，等号一般不成立。在实数轴上取 f_n 为区间 [n, n+1] 的指示函数，函数列逐点收敛到 0，但每个 f_n 的积分都等于 1，于是不等式左端为 0、右端为 1。[5][14] 出现严格不等号的原因，可以归结为函数质量逃逸到无穷远处，或者函数在某一点附近急剧增大。[5]
非负性或可积下界这一条件不能省略。若函数列没有一致的可积下界，结论可能失效：在 [0, ∞) 上存在一致收敛到 0 的函数列，而其中每个函数的积分都等于 −1。[11] 反过来，若函数列被一个可积函数从上方控制，则可得到方向相反的不等式，即反向法图引理：limsup 的积分不小于积分的上极限。[11][1]
引理本身不含收敛性假设，若要由它推出积分收敛到极限函数的积分，通常还需补充条件，例如函数列被可积的控制函数所界，或者借助依测度收敛情形下的子列论证。[10][4]
参见
参考资料
- 法图引理 . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- Fatou's lemma - Skip to main content . epfl.ch [引用日期2026-09-29]
- * (ii)_Let_ \(A_{n}=[0,1]\cup[n,2n]\)_ . arizona.edu [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-法图引理 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- lec3(PDF) . okstate.edu [引用日期2026-09-29]
- 1 Basic Limit Theorems and Applications . cmu.edu [引用日期2026-09-29]
- whenever \(0\leq\psi\leq f\) . mcgill.ca [引用日期2026-09-29]
- Pierre Fatou . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- Stump(PDF) . uchicago.edu [引用日期2026-09-29]
- wk-04+5(PDF) . duke.edu [引用日期2026-09-29]
- Fatou's lemma | encyclopedia article by TheFreeDictionary . thefreedictionary.com [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- (ii):令 \(F = \{x\in E:f(x) = \infty \}\) . ustc.edu.cn [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T10:32:58Z
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