定义
设 a、b 为整数且 b 不等于 0, 如果存在整数 c 使得 a=bc, 就称 b 能整除 a, 记作 b|a; 若这样的整数不存在, 则称 b 不能整除 a, 记作 b∤a[1]。此时 b 是 a 的因数或约数, a 是 b 的倍数[2]。
由定义可直接看出, 对任意整数 a 都有 1|a、a|a 与 a|0; 而 0|a 成立的唯一情形是 a=0, 也就是说 0 只整除 0[4]。整除关系与符号无关, 例如 4 整除 20, 则 -4 也整除 20, 而 1 与 -1 能整除任何整数[5]。
整除与除尽不是同一个概念。除尽只要求相除后余数为零, 商允许取整数或有限小数; 整除则要求被除数、除数与商全都取整数[3]。所以整除必然除尽, 除尽未必整除, 整除可以视为除尽的一种特殊情形。
原理
整除的基本性质都能由定义推出: 若 a|b 且 b|c, 则 a|c; 若 a|b 且 a|c, 则 a|(b±c); 若 a|b, 则对任意整数 c 都有 a|bc[6]。更一般地, 只要 a 整除若干个整数, 它就整除这些整数的任意整系数线性组合[5]。
整除理论的核心工具是带余除法: 给定整数 a 与正整数 b, 存在唯一的一对整数 q 与 r, 满足 $a=bq+r$ 且 $0\le r<b$[2]。b 整除 a 的充要条件是余数 r 等于 0[1]。把带余除法反复用于上一轮的除数与余数, 即得求最大公因数的辗转相除法, 又称欧几里得算法[3]。其迭代形式为:
$r_0=a,\ r_1=b;\quad r_{k}=r_{k-2}-q_k r_{k-1},\ 0\le r_k<r_{k-1}$。余数序列严格递减, 有限步后必然出现 0, 最后一个非零余数就是 a 与 b 的最大公因数[1]。
由带余除法还可以证明算术基本定理: 每个大于 1 的正整数都能唯一地写成若干素数幂的乘积[5]。该定理为因数分解提供依据, 也说明整除关系可以转化为素因数分解中指数的比较。
对于十进制整数, 还有便于心算的判别规则: 末位为 0、2、4、6、8 的整数能被 2 整除; 各位数字之和能被 3 整除的整数能被 3 整除; 末两位组成的数能被 4 整除的整数能被 4 整除; 末位为 0 或 5 的整数能被 5 整除[3]。
发展历程
整除与最大公因数的研究可上溯到古希腊。欧几里得在《几何原本》中系统讨论了因数与素数的性质, 并给出求两数最大公因数的辗转相除法。这一方法在数论文献中因此常被称为欧几里得算法[3]。
此后, 以整除、最大公因数、最小公倍数、素数与合数为主干的初等数论逐渐成型, 算术基本定理被确立为其中最核心的结果之一[3]。整除的概念也被推广到更一般的代数结构中, 例如只有加法与乘法封闭的环, 以及系数取自有限域的多项式环[7]。
20 世纪计算机出现后, 整除与余数运算成为算法设计中的常用工具。把整数写成 b 进制展开式时, 只需反复用 b 去除, 依次取商与余数, 这正是带余除法的直接应用。
参考资料
- 相关工具书解释 [引用日期2026-10-14]
- 数论的基本研究对象是整数, 而整除理论是数论之基础 [引用日期2026-10-14]
- 图文详情——科普中国资源服务 - 整除[zhěng chú] [引用日期2026-10-14]
- cambridge.org 上的网页 [引用日期2026-10-14]
- 1 Divisibility [引用日期2026-10-14]
- Number Theory(PDF) [引用日期2026-10-14]
- msu.edu 上的网页 [引用日期2026-10-14]