勘根定理

定义

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$a$ 与 $b$ 是两个相异的实数。若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，即 $f(a)\cdot f(b)<0$，则开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi)=0$，也就是说方程 $f(x)=0$ 在该区间内至少有一个实根。^[1]

当 $f(x)$ 是实系数多项式时结论同样成立，这一形式在台湾的高中数学课程中以「勘根定理」的名称出现。^[1]

该结论又称零点定理、零值定理或博尔扎诺定理，可以看作介值定理在中间值取 0 时的特例，因而也被称为介值定理的直接推论。^[2]

原理

从图形上看，如果连续曲线 $y=f(x)$ 的两个端点分别落在 $x$ 轴的上下两侧，那么这条曲线在两点的中间至少有一次穿过 $x$ 轴，因此相应的方程在该区间内至少有一个实根。^[1]

一种常见证法用到确界原理：设 $f(a)<0<f(b)$，取使 $f(x)<0$ 的 $x$ 所成集合的上确界 $\xi$，再借助函数在 $\xi$ 处的连续性，把 $f(\xi)<0$ 与 $f(\xi)>0$ 两种可能逐一排除，最终只能有 $f(\xi)=0$。

另一种做法依据闭区间套定理：把区间不断对分，每次保留两端函数值异号的那一半，由此得到一个区间套，其公共点就是所求的根。这一过程本身就是求近似根的算法，第 $k$ 次对分之后，近似根与真根的偏差不超过 $\frac{b-a}{2^k}$。^[3]

发展历程

1817 年，波尔查诺（Bernard Bolzano）发表题为《纯分析证明》的论文，对该定理给出了不依赖几何直观的证明，并在文中给出了函数连续性在现代意义上的定义。^[4][5]

他的证明借助一条今天称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的结论，即有界无穷点集必有聚点。这条结论最初正是 1817 年为证明介值定理而作为引理提出的，约 50 年后才被确认具有独立价值，并由魏尔斯特拉斯重新给出证明。^[6]

1821 年，柯西在《分析教程》中提供了另一个证明。在此之前，不少数学家认为这一结论凭几何直观即可成立，波尔查诺则指出，用几何事实去推出纯数学命题属于循环论证。^[7]

波尔查诺的证明在他所处的时代被认为相当严格，但以现代标准衡量仍不完备，原因之一是当时实数系还没有被严格建立。19 世纪后半叶，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金等人完成了实数理论的构造，该定理的证明才获得完整的基础。^[5][8]

应用

定理最直接的用途是判断方程有没有实根。例如考察多项式 $f(x)=x^3+x-1$ 在若干整数点上的取值符号，就可以分析它的图形与 $x$ 轴的相交情况，或者判断方程 $2x^3+x^2-7x-5=0$ 的根落在哪些相邻整数之间。^[1]

在数值计算中，可以按一定步长把区间分成若干个小区间，逐个比较端点函数值的符号：若相邻两点的函数值异号，或其中某点函数值为零，就能断定该小区间内含有方程的根，由此确定有根区间。对每个有根区间分别调用求根程序，还可以找出多个根的位置。^[3]

以该定理为理论依据的二分法是求方程近似根的基本方法：取有根区间的中点，根据中点与端点函数值的符号保留含有根的一半区间，如此反复，直到区间长度小于给定精度，再取中点作为近似根。^[9][3]

在中学数学教学中，该定理常与二分逼近法或十分逼近法配合使用，用来缩小实根所在的范围，并把误差控制到任意要求的程度。^[10]

局限

定理只保证根的存在，既不能说明根的个数，也不能给出根的精确数值。由 $f(1)f(2)<0$ 只能断定区间 $(1,2)$ 内至少有一个实根，而并非恰好有一个实根。^[11]

当区间两端函数值同号时，定理不能提供任何有用的信息，此时区间内既可能有实根，也可能没有实根，需要另行判断。^[11][1]

结论的成立还依赖于实数系的完备性，在有理数范围内并不普遍成立。

作为常用的数值方法，二分法收敛速度较慢，也无法求出方程的偶数重根和虚根，因此实践中通常只用它获得一个较好的初始近似值，再交给其他方法继续计算。^[3]

此外，该定理所属的介值定理只在一维情形下成立，处理多维问题时需要另找相应的结论。

参见

• 介值定理 —— 勘根定理是它取中间值为 0 时的特例。

• 二分法 —— 以勘根定理为理论基础、用于求近似根的数值方法。

• 闭区间套定理 —— 证明勘根定理时常用的一种工具。

• 确界原理 —— 另一种证明思路所依据的实数性质。

• 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 —— 与勘根定理同出于 1817 年的那篇论文。

• 波尔查诺 —— 首次对该定理给出一般性证明的数学家。