黎曼和

定义

设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义。在区间内取一组分点 $a=x_0<x_1<...<x_n=b$，把它分成 $n$ 个小区间；在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内任取一点 $ξ_i$，作出乘积 $f(ξ_i)(x_i-x_{i-1})$ 并将它们相加，所得的和 $S=Σ_{i=1}^{n} f(ξ_i) Δx_i$ 就称为 $f$ 关于这组分割的黎曼和。^[1][2] 介点可以选在小区间的内部，也可以取端点，不同选法给出的和一般并不相同。^[5]

若每个小区间长度相等，记 $Δx=(b-a)/n$，黎曼和可写成 $S=Δx Σ_{i=1}^{n} f(ξ_i)$，这就是中学与大学教材常见的等分形式。^[2]

在黎曼和中，如果每个小区间都取函数在该段上的最大值，得到的和称为上和；都取最小值，得到的和称为下和，上和与下和因而可以看成黎曼和的两个特例。^[5] 用子区间上、下确界构成的这类和又叫达布和，由达布在研究黎曼积分时系统地引入，作用是从两侧夹住黎曼和。^[6]

原理

黎曼和的计算可以概括为分割、近似、求极限三步：先按分点把区间切成小段，再用每段上小矩形的面积近似该段所对应的面积，最后让分割越来越细。^[2][5]

关键在于取极限。当分割的最大直径——即最长子区间的长度——趋于零时，黎曼和会趋于一个与分割方式和介点选法都无关的数，这个数就是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分 $∫_a^b f(x)dx$。^[7][3] 如果这一极限不存在或者随选法而变，就说明函数在该区间上不可积。^[7]

达布和给出了判断该极限是否存在的工具。对同一个分割总有 $L(f,P) ≤ 黎曼和 ≤ U(f,P)$，其中 $L(f,P)$ 与 $U(f,P)$ 分别是下和与上和；分割加细时，下和只增不减、上和只减不增，两者的差距被逐渐压紧。^[6] 只要对任意给定的正数 $ε$ 都能找到一个分割使 $U(f,P)-L(f,P)<ε$，函数便是黎曼可积的。^[8]

flowchart LR

A[分割区间] --> B[每个小区间内取一点]

B --> C[函数值与小区间长度相乘]

C --> D[各项相加得到黎曼和]

D --> E[让分割的最大直径趋于零]

E --> F[极限即定积分]

上述过程把离散的求和与连续的积分联系了起来，也是各类求积公式的出发点。^[9]

发展历程

用规则图形逼近曲边图形的办法在古希腊就已出现，但积分长期没有严格定义。^[8] 1823年，柯西以和式的极限给出积分的构造性定义，即后来所说的柯西和，不过他只讨论了连续函数。^[8]

1854年，黎曼在求职论文《用三角级数表示函数的可能性》中去掉连续性这一限制，只要求函数有界，给出了后来所称的黎曼积分定义，各式各样取点方式下的和正是其中的核心。^[10][11] 这篇论文在1868年他去世以后才正式刊出。^[11][4]

1875年，达布给出一个与黎曼积分等价却更便于操作的定义，用上和、下和取代一般的取点和，可积性的判定从此有了更简便的形式。^[8][12]

此后黎曼积分被不断推广。1894年施蒂尔杰斯提出黎曼-斯蒂尔杰斯积分，20世纪又出现了亨斯托克-库尔茨魏尔积分等更一般的理论。^[12][8] 与此同时，勒贝格在1901年至1904年间建立勒贝格积分，改用点集的测度重新定义积分，大幅扩充了可积函数的范围。^[8] 由此得到的重要结论是：有界函数黎曼可积的充要条件，是其不连续点集为零测集。^[3]

应用

黎曼和是数值积分的共同基础。不少函数的原函数无法用初等函数表示，遇到这类积分时只能求近似值，做法正是按分割、取点、求和的思路展开。^[13][9]

常见的求积方法都可以看成黎曼和的变形：中点法则取每段中点的函数值，梯形法则用梯形代替矩形，辛普森法则用抛物线拟合曲线。^[13][6] 随着分割数增大，这些方法的截断误差按各自的阶数下降，其中中点法则与梯形法则的误差约与分割数的平方成反比。^[9]

在物理、工程与经济学中，这种分割求和的思路用于计算变速运动的路程、变力所做的功、几何体的体积、通量以及消费者剩余等累积量。^[9] 对高维或难以解析处理的积分，还可以用蒙特卡罗方法抽样估计其值。^[4]

黎曼和也可以推广到多元函数。在矩形区域上作出分割，在每个子矩形内任取一点，用函数值与子矩形面积相乘后再求和，所得的就是二重积分的黎曼和。^[14]

局限

黎曼积分的讨论以有限区间上的有界函数为对象，无界函数只能另行借助反常积分处理。^[15] 即便函数有界，也未必可积：在有理点取1、无理点取0的狄利克雷函数，由于任何小区间内函数值都在两个数之间剧烈跳动，无论怎样分割，上和与下和之差都无法压到任意小，因而该函数不存在黎曼积分。^[16][15]

从理论角度看，黎曼可积的函数类偏小，而且黎曼可积函数构成的空间在 $L^1$ 范数下不完备，一列黎曼可积函数可能收敛到一个不可积的极限。^[15] 此外，黎曼积分只定义在有界区间上，向无界区间推广并不方便，推广之后还会失去平移不变性。^[17]

正是这些不足推动了积分理论的更新：勒贝格积分用测度取代区间长度，能够处理性质更为“不规则”的函数，并成为现代泛函分析与概率论的重要基础。^[15] 因此，黎曼和所连接的经典积分理论既有直观、易用的优点，也存在适用范围上的边界。^[16]

参见

• 定积分 —— 黎曼和取极限后得到的量，用于刻画曲边图形的面积等。

• 达布和 —— 用子区间上、下确界构造的和，可以夹逼并判断黎曼和的极限是否存在。

• 勒贝格积分 —— 为克服黎曼积分局限而建立的更一般的积分，以测度取代区间长度。

• 微积分基本定理 —— 把定积分与原函数联系起来的定理，很多情形下可绕开黎曼和直接求值。

• 数值积分 —— 以黎曼和为基础的一类近似求积分方法的总称，包括中点法则、梯形法则和辛普森法则。