单元素集

定义

单元素集是元素个数恰好为 1 的集合。^[1] 若 a 是某个对象，则只以 a 为元素的集合记作 {a}，例如 {0} 就是单元素集。^[1][6] 集合 {{1,2,3}} 同样是单元素集，它唯一的元素是一个集合，而这个元素本身未必是单元素集。^[1][5]

一个集合成为单元素集，当且仅当它的基数为 1，所以单元素集必定是有限集，并且是元素最少的非空集合。^[6][1] 与之相对，空集不含任何元素，而 {∅} 含有空集这一个元素，二者是不同的集合。^[7][1]

把集合 {a} 与对象 a 当成同一个东西并不成立：前者是集合，后者只是它的元素。^[8][7]

原理

在公理集合论中，单元素集的存在性可由配对公理推出：把该公理用于同一个集合 A，得到无序对 {A, A}，它等于单元素集 {A}。^[4][9] 外延公理进一步说明这样的集合只有一个，因此 {a} 是唯一确定的。^[9]

策梅洛-弗兰克尔集合论的正则公理规定任何集合都不是自身的元素，由此可以推出 {a} 与 a 必然不相等。^[4]

若 A 是任意集合而 S 是单元素集 {s}，则从 A 到 S 的函数只有一个，即把 A 中全部元素都对应到 s 的那个函数；反过来，从单元素集出发、取值于任意集合的函数必定是单射。^[4] 单元素集的幂集只有两个元素，即空集与它自身，可写成 $P(\{a\}) = \{\varnothing, \{a\}\}$。^[5]

graph LR

A[集合 a] --> B[配对公理用于 a 与 a]

B --> C[得到单元素集]

发展历程

用花括号逐个列举集合元素的记法由恩斯特·策梅洛在 1908 年引入，{a} 这类单元素集的写法此后成为标准记法。^[8]

数学原理在 1910 年至 1913 年分三卷出版，怀特海与罗素在其中给出了单元素集(unit class)的形式定义，并把自然数 1 定义为全部单元素集组成的类，该条目编号为定义 52.01。^[4]

在冯·诺依曼提出的自然数的集合论构造中，数字 1 被直接定义为单元素集 {0}。^[4][1] 此后在策梅洛-弗兰克尔公理系统中，单元素集的存在性普遍由配对公理给出。^[9]

应用

在范畴论中，单元素集是集合范畴的终对象：从任何集合到单元素集恰好存在一个函数，而且除单元素集之外没有别的集合具备这一性质。^[4]

在拓扑空间理论中，单元素集上只能给出一种拓扑，即所有子集都取为开集，由此得到的单点空间是拓扑空间范畴的终对象；一个拓扑空间满足 T1 分离公理，当且仅当其中每个单元素子集都是闭集。^[10][4]

在群论中，单元素集可以配上唯一的群结构，其中唯一的元素充当单位元，这样的单元素群是群范畴的零对象。^[4]

在计算机科学与类型论中，只含一个分量的 1 元组也被称为 singleton。^[4] 在测度论、概率论与算子理论的部分研究中，也会出现相应对象退化为单点集的情形。^[5]

局限

单元素集与它的唯一元素分属不同层次的对象，把 {a} 当作 a 会导致推理错误；哈尔莫斯用「装着帽子的盒子并不等于帽子」来比喻两者的差别。^[7][8]

由于定义域只有一个元素，从单元素集出发的函数必然是单射，而除空集之外没有别的非单元素集具有这一性质；当单元素集作为值域时，函数把所有输入对应到同一个输出，无法区分定义域中的不同元素。^[4]

单元素集的子集只有空集与它自身两种，其幂集恰好含 2 个元素，因此它无法像元素更多的集合那样提供较丰富的子集结构。^[5]

参见

• 集合 —— 单元素集是元素个数为 1 的集合，属于最简单的集合之一。

• 空集 —— 不含任何元素的集合，与单元素集同为最基本的集合。

• 配对公理 —— 公理集合论中用来推出单元素集存在的公理。

• 终对象 —— 在集合范畴中，单元素集正是终对象。

• 自然数 —— 在冯·诺依曼的集合论构造中，自然数 1 就是单元素集 {0}。