伯努利分布是概率论与统计学中的一种离散型概率分布，又称两点分布或0-1分布，用来描述一次只有两种可能结果的随机试验。若试验成功，随机变量取值为1；若失败则取值为0，成功概率记为p，失败概率记为1-p。它是二项分布在试验次数为1时的特例，也是伯努利试验、伯努利过程乃至大数定律等概念的基础，在抽样调查、质量控制、医学统计等领域被广泛使用。
定义
伯努利分布描述的是只取两个值的随机变量。设随机变量 $X$ 只可能取 1 与 0 两个值，且 $P\{X=1\}=p$、$P\{X=0\}=1-p$，其中 $0<p<1$，则称 $X$ 服从参数为 p 的伯努利分布，也写作 $X \sim B(1,p)$ 或 $X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$[1]。
这种分布还有其他常见叫法。《数学辞海》把两点分布称作伯努利分布或 0-1 分布，并把它归为离散型分布的一种[2]。中文维基百科同样指出，伯努利分布又名两点分布或者 0-1 分布，是为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名的[3]。
通常把两种结果中的一种称为“成功”，另一种称为“失败”。从分布本身看，1 与 0 只是两种结果的代码，取 1 的概率为 p，取 0 的概率为 1-p，两者之和为 1[2]。当 p 取 0 或 1 时试验结果完全确定，因此在讨论中一般限定 $0<p<1$[4]。
原理
伯努利分布的概率质量函数可以统一写成 $f_X(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}$，在 $x=1$ 时取值为 p，在 $x=0$ 时取值为 1-p，对其他实数取值为 0[3]。它的分布列是一个两行的表，取值 0 对应概率 1-p，取值 1 对应概率 p[1]。
由定义可以直接算出数字特征。若 $X \sim B(1,p)$，则期望 $E[X]=1\times p+0\times(1-p)=p$，方差 $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$[5]。矩母函数为 $q+pe^{t}$，特征函数为 $q+pe^{it}$，其中 $q=1-p$[3]。
方差在 $p=\frac{1}{2}$ 时达到最大，在 p 取 0 或 1 时为零。这一点的直观含义是，当两个结果等可能时预测结果最难，而当结果完全确定时没有任何不确定性[5]。
把同一个伯努利试验独立重复 n 次，记 Y 为其中取值为 1 的次数，则 Y 服从参数为 n 和 p 的二项分布；反过来，n 等于 1 时的二项分布就是伯努利分布[6]。独立同分布的伯努利随机变量构成的序列称为伯努利序列，其概率结构可以用二叉树表示[7]。
发展历程
这一分布得名于瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）。他在概率论方面的主要工作包括提出只有两种可能结果的试验以及大数定律，其著作《推测术》在身后出版[4][5]。
公共卫生领域的资料把二项分布的提出时间记为 1713 年，并因此称之为 Bernoulli 分布；伯努利分布作为 n 等于 1 的特例，也被纳入这一时间脉络[8]。
在伯努利的成果中，与大数定律相关的结论指出：对发生概率为 p 的事件做独立重复观测，当观测次数趋于无穷时，事件发生的相对频率接近 p 的概率趋于 1[7]。随着概率论的发展，伯努利分布成为一批更复杂分布与随机过程的起点，例如伯努利序列、伯努利测度与伯努利过程[9]。
应用
伯努利分布适用于一次试验只有两个结果的随机现象。常见例子包括射击一次是否命中、投篮一次是否投中、抽检一件产品是否合格，以及投掷硬币时正面朝上还是反面朝上[10]。在生物与医学研究中，新生儿性别、检查结果阳性或阴性、动物生存或死亡等二分结果也可以用这一分布刻画。
在抽样与检验场景中，它常被当作最基本的建模单元。对有放回的产品抽样，若废品率为一定值，则每次抽取可看作一次伯努利试验，抽取 n 件得到的废品数服从二项分布[11]。当样本量相对总体很小、抽样比不超过 0.05 时，不放回抽样也可以用这套模型近似处理；样本量较大时则需要改用超几何分布[5]。
在更一般的建模中，取值只有 0 和 1 的随机变量都可以视为伯努利变量。任何一个事件的示性函数都服从伯努利分布；反之，任意伯努利变量也几乎处处等于某个事件的示性函数[12]。当独立结果呈现明确二分特征时，现实中许多过程都可以按伯努利过程处理，例如产品缺陷率与生产规模无关时的缺陷数[9]。
局限
伯努利分布只刻画一次试验的结果。它无法描述取值超过两个的随机现象，也无法直接给出多次重复试验中成功次数的完整分布，后者需要借助二项分布[6]。
模型成立的前提是试验只有两种结果、各次结果相互独立且成功概率保持相等。若试验结果多于两个，或前一次结果会影响后一次的概率，该模型不再适用[4]。
抽样场景下还需注意抽取方式。不放回抽样中各次结果不独立，只有当样本量相对总体很小、抽样比不超过 0.05 时，用二项模型近似才较为可行；否则应改用以不放回为前提的分布[5]。此外，p 取 0 或 1 时结果完全确定，这类极端情形在通常讨论中被排除[4]。
参见
参考资料
- Lecture04_常见随机变量(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 两点分布_知网百科 [引用日期2026-10-14]
- 伯努利分布 [引用日期2026-10-14]
- 2 二項分布與幾何分布 [引用日期2026-10-14]
- StatFa12_Ch05_handout(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 二項分佈 [引用日期2026-10-14]
- 機率論早期的發展，常對某事件是否發生有興趣 [引用日期2026-10-14]
- 二项分布-公卫百科-公共卫生科学数据中心 [引用日期2026-10-14]
- BernoulliDistribution [引用日期2026-10-14]
- hxedu.com.cn 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]
- Prosta_a2025iANG(PDF) [引用日期2026-10-14]
- epfl.ch 上的网页 [引用日期2026-10-14]