定义
费马定理在中文语境中有广狭两义。狭义的费马定理即费马大定理(Fermat's Last Theorem)，又称费马最后定理，断言当整数 n 大于 2 时，不定方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 不存在正整数解。[1] 当 n 等于 2 时，该方程即为勾股方程，拥有无穷多组正整数解，例如 3、4、5 和 5、12、13；n 不小于 3 之后，非平凡解便不再存在。[4]
又称费马小定理(Fermat's Little Theorem)的命题与之不同：若 p 为素数，a 为任意整数，则 p 整除 aᵖ − a；等价地，当 a 与 p 互素时有 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)。[3] 中文文献为了把两者区分开来，把关于 xⁿ + yⁿ = zⁿ 的命题称为费马大定理，西方则多称其为费马最后定理。[5]
原理
费马大定理的证明思路从指数归约开始。若命题对某个 n 成立，则对它的一切倍数也成立，因为 (aᵐ)ᵖ + (bᵐ)ᵖ = (cᵐ)ᵖ；而每个大于 2 的整数不是 4 的倍数，就是某个奇素数的倍数，因此只需证明 n = 4 和 n 为奇素数两类情形。[6] 费马本人用无穷递降法证明了 n = 4 的情形，其依据是一个更强的命题：边长为整数的直角三角形，其面积不可能是一个完全平方数。[7]
对奇素数 p，证明的关键是把方程变形为 cᵖ = (a + b)(a + ζb)(a + ζ²b)…(a + ζᵖ⁻¹b)，其中 ζ 是 p 次单位根。[4] 19 世纪数学家库默尔在分圆整环 Z[ζₚ] 中研究这一分解，证明了若该环中唯一因子分解成立，则方程无非平凡解；为修补唯一分解失效的情形，他引入理想数，并由此开创代数数论。[4]
费马小定理则可由有限群论直接得到。模 p 的非零剩余类在乘法下构成一个 p − 1 阶循环群，由拉格朗日定理，任一元素的阶整除群的阶，于是 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)。[8] 它也可用组合计数证明：把 a 种颜色的珠子串成长度为 p 的珠链，多色珠链可每 p 条归为一条项链，故 aᵖ − a 必被 p 整除。[9]
发展历程
1637 年前后，费马在丢番图《算术》拉丁文译本的页边空白处写下论断：不可能把一个立方数拆成两个立方数之和，也不可能把一个四次幂拆成两个四次幂之和，一般地，任何高于二次的幂都不能拆成两个同次幂之和；他称自己已发现一个绝妙证明，只是页边太窄写不下。[1] 由于证明始终未被找到，该论断长期只能称为猜想，又因它是费马遗留命题中最后一个获得解决的，得名费马最后定理。[1]
此后两个世纪进展缓慢。1770 年，欧拉给出了 n = 3 的证明，其推理虽存在缺陷后经修正，仍被通常视为该情形的首个证明；1825 年前后，勒让德与狄利克雷各自独立证明了 n = 5；1839 年拉梅证明了 n = 7。[1] 19 世纪 30 至 40 年代，热尔曼证明了若 p 为奇素数且 2p + 1 也是素数，则费马大定理的第一种情形成立；库默尔以正规素数概念证明了对小于 100 的奇素数除 37、59、67 外定理均成立，这被视为早期最重要的突破。[5]
20 世纪后期，计算机被用于扩大验证范围。1955 年，索尔弗里奇、尼可、范迪沃算出 p 小于 4002 时定理成立；1977 年瓦格斯塔夫借助大型计算机将范围推进到 p 小于 125000。[5] 1983 年，法尔廷斯证明莫德尔猜想，由此推出 n 大于 2 时方程只有有限多组有理数解。[7]
1986 年，已有工作提示费马大定理与椭圆曲线、模形式之间存在联系，英国数学家安德鲁·怀尔斯由此全力投入这一问题。1993 年 6 月，他在剑桥大学以三次演讲公布证明；随后审查中发现一处难以修补的漏洞，他与学生理查德·泰勒合作修改，于 1994 年 9 月找到解决办法，证明于 1995 年正式发表。[7] 该证明长达 100 多页，运用了伽罗瓦群表示，建立起椭圆曲线与模形式之间的对应关系。[2] 1997 年，怀尔斯领取了沃尔夫斯凯尔奖。[7]
应用
费马大定理本身在数学之外没有直接用途，但其证明过程带来的工具具有广泛影响。为处理该问题而引入的理想数概念，经戴德金改造为交换环中的理想，成为抽象代数的基本概念；库默尔的相关工作促成了代数数论这一分支的建立。[4]
费马小定理的应用则直接体现在算法与密码学中。计算模幂时，指数可以按 p − 1 为周期约简，这一性质被用于高效处理大指数运算；同时，由 a · aᵖ⁻² = aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) 可知 aᵖ⁻² 是 a 模 p 的乘法逆元，这一结论是构建公钥加密方案的基础之一。[9]
在RSA等公钥密码系统中，密钥生成环节需要判定大随机数是否为素数。实际实现常先用费马小定理算法做初筛：对自然数 n 取满足 1 ≤ a ≤ n − 1 的整数 a，计算 aⁿ⁻¹ (mod n)，若结果不为 1 则 n 必为合数；结果通过者再用 Miller-Rabin 算法复核。[10] 此外，Pollard 的 p − 1 分解方法也以费马小定理为核心，通过构造指数求最大公约数来寻找合数的因子。[11]
局限
费马大定理本身只是一条存在性命题，它说明某类方程无正整数解，并不直接产生可用于计算的方法，也不改变数论其他分支的既有结论。[12] 已发表的证明篇幅很长、所用工具相当专门，目前能完全读懂它的人极少，由此也引发了关于费马当年是否真有过证明的争议：有人推测存在更初等的证法，也有人认为费马当年的想法可能有误。[12]
费马小定理作为素性检验手段并不可靠，其逆命题不成立。存在某些合数，对给定的底数 a 也满足 aⁿ⁻¹ ≡ 1 (mod n)，这类数称为费马伪素数，例如 341 = 11 × 31 对底数 2 即通过检验；更极端的是卡迈克尔数，如 561 = 3 × 11 × 17，对一切与它互素的 a 都满足同余式。[9] 因此费马检验只能确定合数，不能断定素数，这也是 Miller-Rabin 等更强检验方法被发展出来的原因。[13]
该定理的适用条件也有限制，模数必须是素数。若误把它用于合数模，结论不再成立，例如取模数 9、底数 4 时，按 aᵖ⁻¹ 计算的 4⁸ 模 9 等于 7 而非 1。[9]
参见
参考资料
- 图文详情——科普中国资源服务 [引用日期2026-10-14]
- 费马大定理：“一只会下金蛋的鹅” [引用日期2026-10-14]
- 证明方程 \(x^3 + y^3 = z^3\) 没有正整数解 [引用日期2026-10-14]
- 912_text(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 费尔马大定理 [引用日期2026-10-14]
- 費馬最後定理 [引用日期2026-10-14]
- Fermat's Last Theorem - Chapters and Articles [引用日期2026-10-14]
- all(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 费马小定理 | Bohrium [引用日期2026-10-14]
- 一种实现快速大素数生成的rsa加密方法 - Google Patents [引用日期2026-10-14]
- SciencePedia | Science in Sight. Trusted Insight [引用日期2026-10-14]
- 费马大定理 [引用日期2026-10-14]
- 费马和索洛韦-施特拉森素性检验 | Bohrium [引用日期2026-10-14]