定义
设 $f$ 是定义在区间或向量空间中的凸集上的实值函数。若对该集合内任意两点 $x$、$y$ 以及任意 $\alpha \in [0,1]$,都有 $f(\alpha x+(1-\alpha)y) \geq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$,则称 $f$ 为凹函数;若 $\alpha \in (0,1)$ 且 $x \neq y$ 时上式取严格不等号,则称 $f$ 为严格凹函数[1]。
对于一元实函数,这一条件的几何含义是:函数图像上任意两点连成的线段,始终位于两点之间函数曲线的下方,曲线呈向上开口的峰形[2]。另一种等价表述是凹函数的下境图,即图像下方所有点构成的集合,为凸集。
若函数的上轮廓集均为凸集,则称其为拟凹函数,这是凹函数概念的一种推广。函数 $f$ 在凸集上是凹函数,当且仅当 $-f$ 在该集合上是凸函数,因此凹函数的大量性质可由凸函数的相应结论直接得到[3]。
需要说明的是,中国大陆部分机构与教材对函数凹凸性的界定与国外习惯相反,Concave function 在部分国内数学书中被译为凸函数,而 Convex function 被译为凹函数;国内涉及经济学的著作则多与国际用法一致[2]。
原理
凹性的判断可借助导数。若可微函数的导数在某个区间上单调不增,则该函数在此区间上是凹函数。对于二阶可微的一元函数,在某区间上为凹函数的充要条件是二阶导数在该区间上处处非正,即 $f''(x) \leq 0$;若二阶导数处处为负,则为严格凹函数,但反向命题不成立[4]。
几何上,可微凹函数的图像位于其任意一点处切线的下方,写成不等式即 $f(y) \leq f(x)+f'(x)(y-x)$[2]。凹凸性发生改变的点称为拐点。
多项运算可以保持凹性。两个凹函数的和仍是凹函数,两个凹函数的逐点最小值也是凹函数,定义域上全体凹函数因此构成一个半域[1]。在仿射映射作用下凸性保持不变,这一性质对凹函数同样成立[5]。
凹函数与极值之间联系紧密。凹函数的任何局部极大值都是全局极大值,严格凹函数至多有一个全局极大值;反过来,若某点是函数的严格局部极大值点,则该点附近函数必为凹函数,而严格凹函数导数为零的点必定是局部极大值点[1]。
发展历程
凹函数的概念由丹麦数学家詹森(J.L.w.v.Jensen,1859 年至 1925 年)引入。他采用的定义条件相当于凸组合不等式的特殊情形,对于连续函数而言,这种定义与一般定义是等价的[6]。
此后,凹性成为分析学与最优化理论的基础概念,相关研究围绕凹函数的判别准则、极值性质以及推广形式展开。以凸组合形式给出的定义后来被推广到向量空间中的凸集上,并发展出拟凹函数等概念。有文献围绕凸函数与凹函数的幂平均不等式、拟凹函数的等价条件及凹函数全局优化等问题展开了专门研究。
应用
凹函数是凸优化理论的组成部分。由于凹函数的局部极大值即全局极大值,求凹函数最大值的问题在结构上较为有利,通常的做法是把凹函数转化为凸函数来研究[6]。
在不等式理论中,凹性用于建立詹森不等式等结论,该不等式把函数值与期望值联系起来,可写成 $f\left(\int x \, \mathrm{d}F\right) \geq \int f(x) \, \mathrm{d}F$,其中 $F$ 为任意的分布函数[7]。
经济学中普遍使用凹性刻画效用函数与生产函数,并由此讨论最优化问题,相关著作对凹凸性的提法多与国际数学文献保持一致。
局限
凹性只是一个二阶或凸组合层面的性质,并非所有函数都具备。线性函数与仿射函数既满足凹函数定义也满足凸函数定义,属于两类函数的交集,因此在讨论严格凹性时需将它们排除[2]。
二阶导数判别法本身有限制。若函数不二阶可微,或仅在部分区间可导,就无法直接使用 $f''(x) \leq 0$ 这一条件,需要回到定义或使用一阶条件判断[8]。反过来,二阶导数恒为负是严格凹的充分条件而非必要条件,存在二阶导数在某点为零但仍严格凹的函数。
术语差异带来的实际困难不容忽视。同一中文名称在不同教材中可能指向相反的不等式方向,国内外文献乃至国内不同学科的用法并不统一,读者遇到相关表述时通常需以具体教材给出的定义为准[5]。
凹函数的极值结论也有边界。凹函数的局部极大值必为全局极大值,但凹函数不一定存在最大值点,极小值也不具备类似性质;拟凹函数等推广概念则弱于凹函数,其约束条件相应更宽松。
参见
参考资料
- 图文详情——科普中国资源服务 [引用日期2026-10-14]
- 凹函數 [引用日期2026-10-14]
- \[\{x|a^{\mathrm{T}}x = a^{\mathrm{T}}x_{0}\}\] [引用日期2026-10-14]
- 图文详情——科普中国资源服务 [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-凸函数 - 版权归原作者所有，如有侵权，请联系我们 [引用日期2026-10-14]
- 图文详情 [引用日期2026-10-14]
- 图M [引用日期2026-10-14]
- tsinghua.edu.cn 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]