单位脉冲函数(unit impulse function)又称狄拉克δ函数，是数学、信号处理与系统理论中用来描述瞬时作用的理想化对象：除原点之外处处取零，在原点处趋于无穷大，而它在整个实数轴上的积分等于 1。[1][2]它在积分运算中具有筛选性质，可以把一个连续函数在某点的取值单独取出。[1]由于它并不符合普通函数的定义，数学上把它归入广义函数或分布来处理。[3]
定义
单位脉冲函数通常记作 δ(t)。它在 t 不等于零的位置取值为零，在 t 等于零处趋于无穷大，且在整个实数轴上积分结果为 1，即 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,\mathrm{d}t=1$。[1]若脉冲不是发生在原点，而是集中作用在 t = a 处，则记作 δ(t − a)，各条性质与 δ(t) 相同，只是位置平移了 a。[1]
严格来说，符合上述条件的对象并不是经典意义上的函数，而是一种广义函数，也就是分布。[3]在分布理论中，δ 不靠逐点取值来界定，而是靠它与测试函数 φ 的配对来界定：δ[φ] = φ(0)。[2]与之等价的说法是筛选性质：对任意在 a 点连续的函数 f，都有 $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-a)\,\mathrm{d}t=f(a)$，积分的作用相当于把 f 在 a 点的函数值挑出来。[4]
原理
一种直观的理解方式是把 δ 看成窄脉冲的极限。取一个宽度为 a、高度为 1/a 的矩形脉冲，a 越小，脉冲越窄也越高，但它下方的面积始终是 1；当 a 趋于零时，这一族脉冲的极限就用来表示 δ。[4]以原点为中心、方差趋于零的高斯分布序列同样可以逼近 δ，这类极限在数学上称为弱极限。[2]
δ 与单位阶跃函数联系紧密：阶跃函数在原点由 0 跳变到 1，其广义导数正是 δ；反过来说，δ 从负无穷到 t 的积分给出阶跃函数。[2][5]δ 还是偶函数，并满足尺度变换 $\delta(at)=\delta(t)/|a|$，式中出现的 $1/|a|$ 因子保证自变量被拉伸或压缩后，脉冲下方的总面积保持不变。[6][7]
在傅里叶变换中，δ 的地位也很特殊：它的变换结果是常数，δ 与常数函数构成一对变换对。[8]引入 δ 之后，符号函数、阶跃函数以及正弦、余弦函数等不满足绝对可积条件的对象，也可以在广义意义下求傅里叶变换。[8]推广到 n 维欧氏空间时，δ 可以写成各坐标方向上一维 δ 的乘积。[2]
发展历程
δ 的基本思想可追溯到 19 世纪初。泊松 1815 年对复平面线积分的研究，以及傅里叶 1822 年出版的《热的解析理论》，都已经含有与之相关的想法。[9]柯西的一篇论文于 1815 年写成、1827 年发表，其中把无限高而无限窄的单位脉冲用作积分核，因此后人有时也称它为柯西δ函数。[9]此后基尔霍夫 1882 年关于积分方程的研究、海维赛 1883 年关于奇异函数求导的研究，也间接用到了实质上的 δ 函数。[9]
在今天所用的形式中，这一对象由英国物理学家保罗·狄拉克于 1927 年发表的论文《量子动力学的物理解释》中正式引入，他把 δ 当作离散的克罗内克δ函数在连续情形下的类比物。[10]1930 年，狄拉克在《量子力学原理》一书中把它作为一种方便的记号加以使用，δ 函数也因此以他的名字命名。[10]早在狄拉克之前约 35 年，海维赛已经描述过性质相近的冲激型函数。[10]
由于 δ 并非经典函数，围绕它的运算在 20 世纪初曾受到数学界的质疑。[2]1945 年前后，法国数学家洛朗·施瓦茨建立分布理论，把包括 δ 在内的一批对象纳入统一而严格的框架。[2]中文文献通常把这一理论称为广义函数论，它从理论上说明 δ 函数及其各阶导数都可以合法使用。[11]施瓦茨因创立分布理论获得 1950 年菲尔兹奖。[12]
应用
在线性时不变系统的分析中，以 δ 作为输入时系统给出的输出称为冲激响应，它能够完整刻画系统的动态特性；对任意输入，系统的输出可以由输入与冲激响应的卷积求出。[6]冲激响应是否绝对可积，还可以用来判断该系统是否满足有界输入有界输出稳定。[6]
在信号采样与数字化中，把连续信号与等间隔的冲激串相乘，可以建立理想采样的模型：依靠筛选性质，乘积在每个采样时刻留下的冲激强度恰好等于原信号在该时刻的取值。[6]这一模型是模拟量与数字量互相转换的理论基础之一，冲激不变法等数字滤波器设计方法也建立在此之上。[6]
在物理与工程建模中，δ 函数用于表示点电荷、质点、瞬时冲击力一类在空间或时间上高度集中的量。[13][7]在数学物理中，它可以用来构造格林函数并求解偏微分方程，例如描述点热源引起的温度分布；在计算机断层扫描中，沿某条直线做投影的运算也可以用线状 δ 函数来刻画。[6]
局限
δ 并不满足普通函数的定义。如果一个函数除某一点之外处处为零，那么它的积分只能等于零，因此不存在同时具备原点为无穷大、全轴积分为 1 这两条性质的实值函数。[3]按照勒贝格积分理论，若两个函数几乎处处相等，它们的积分应当相同；而 δ 与恒为零的函数恰恰几乎处处相等却积分不同，这就构成了直接的矛盾。[2]
因此 δ 只有在积分号内才有确切含义，其对象是测度论或分布理论中的量，而不能按点求值。[3]常见的写法 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)\,\mathrm{d}x=f(0)$ 只是一种方便的记号，并非有良好定义的黎曼或勒贝格积分。[2]
运算方面也有边界。两个分布的乘积一般没有良好定义，所以 δ 与自身相乘或含 δ 的乘积式必须谨慎对待；n 维乘积公式 $\delta(\mathbf{x})=\delta(x_1)\delta(x_2)\cdots\delta(x_n)$ 也只在较窄的条件下才成立。[2]形如 δ[f(t)] 的复合形式，在 f(t) = 0 出现重根时没有意义。[14]
参见
参考资料
- 单位脉冲函数 . baidu.com [引用日期2026-09-29]
- 狄拉克δ函数 . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- cambridge.org 上的网页 . cambridge.org [引用日期2026-09-29]
- dirac-delta-function . sciencedirect.com [引用日期2026-09-29]
- IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary . iec.ch [引用日期2026-09-29]
- 连续时间单位冲激函数 | Bohrium . bohrium.com [引用日期2026-09-29]
- Distributions(PDF) . cam.ac.uk [引用日期2026-09-29]
- 图文详情——科普中国资源服务 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 狄拉克和他的 δ 函数 . qq.com [引用日期2026-09-29]
- Delta-function . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-奇异函数 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- GENERALIZED FUNCTIONS WITH INFINITESIMALS . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-脉冲函数 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 但一定要注意始终对时间 . yangtzeu.edu.cn [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T11:55:31Z
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