定义
设 X 是一个集合，F 是 X 的一族子集。若 F 满足下面三个条件，就称 F 是 X 上的一个σ代数：X 属于 F；只要 A 属于 F，它的补集 X−A 也属于 F；只要 A₁、A₂……是 F 中可数多个元素，它们的并集也属于 F[1]。第三个条件里的「可数」正是符号 σ 的来源，这个字母取自德语中表示「和」的词，因为早期文献里用求和记号来表示并集[2]。
由这三条可以推出更多性质。例如 X 与空集都在 F 中，F 对两个集合的并、交、差也封闭[1]。集合 X 与它上面的一个σ代数 F 组成的序对 (X, F) 称为可测空间，F 中的集合称为可测集[3]。
最简单的例子有两类：只含空集与 X 的族是最小的σ代数，X 的全部子集构成的幂集是最大的σ代数[4]。在实数集上，所有开区间生成的σ代数称为博雷尔σ代数，其中的集合称为博雷尔集[5]。给定一族子集 C，包含 C 的所有σ代数之交仍是σ代数，这个交集称为由 C 生成的σ代数，记作 σ(C)[6]。
原理
σ代数的三条公理并不彼此独立地发挥作用，它们共同保证可测集对常见的集合运算不「跑出」这个族。互补与可数并的封闭性配合德摩根律，可以推出对可数交也封闭；把并集中的多余位置取为空集，又可推出有限并的情形[1]。比σ代数更弱的概念是集合代数，它只要求在有限次并、交、补下封闭[7]。
由一族子集生成σ代数的做法，使人们不必逐一写出集合，只需指明一组「原料」。一般情形下很难显式刻画一个σ代数的全部元素，通常只清楚它的某个子族，再由此生成整体[8]。实数轴上的情形是：取全部开区间为原料，反复添加可数并、可数交与相对补，直到封闭性成立，由此得到的族即博雷尔σ代数[7]。这一过程会产生开集、闭集、开集的可数交、闭集的可数并等层层结构[9]。
定义在可测空间之间的函数也有相应的相容性条件。若 (E, E) 与 (F, F) 是两个可测空间，映射 f 满足每个可测集的原像都可测，则称 f 为可测函数，这一条件与拓扑学中连续性的定义方式类似[10]。当两个空间的σ代数之一由对有限交封闭的族生成时，单调类引理给出了验证σ代数相等的一条捷径[11]。
发展历程
σ代数的概念在19世纪末到20世纪30年代之间随测度论的发展而逐步成形。19世纪90年代，埃米尔·博雷尔证明区间长度可以扩张为由区间生成的一族集合上的可数可加函数，这族集合后来以他的名字命名；据记载，σ代数这一名称也出自他[12]。稍后亨利·勒贝格于20世纪初建立勒贝格测度与勒贝格积分，勒贝格σ代数即以他命名。
进入20世纪，这套思路从实数轴走向一般集合。拉东在1913年前后把测度定义到更一般的空间上，卡拉泰奥多里在1918年前后引入外测度并证明由可加性判据选出的集类构成σ代数[12]。勒贝格的想法被证明不依赖几何背景，豪斯多夫、卡拉泰奥多里、弗雷歇等人在抽象方向上作了推进[13]。
1933年，安德雷·柯尔莫哥洛夫出版《概率论基础》，把概率空间定义为总质量为1的测度空间，事件成为可测集，随机变量成为可测函数[2]。这一步使概率论获得了测度论基础，其中涉及无穷序列与无穷族随机变量的结论得以自然表述[14]。概率的现代公理化定义通常表述为σ代数上的可数可加测度，并满足 P(X)=1[12]。
与这套抽象化并行的，是对「哪些集合无法测量」的持续追问。维塔利给出了勒贝格不可测集的经典构造，其存在本质上依赖选择公理[15]。1924年，巴拿赫与塔斯基证明了三维单位球可以分成有限块，经旋转与平移重组成两个同样的球，这些块都是不可测集[16]。20世纪70年代，索洛瓦伊造出使实数集的所有子集都可测的集合论模型，说明不可测集的存在无法脱离选择公理来证明[17]。
应用
测度论中，σ代数的作用是规定测度的定义域。给定测度必然是对某个σ代数中的集合定义，σ代数因此是测度概念的必备前提[7]。勒贝格积分以可测函数为对象，积分理论中的单调收敛、控制收敛等定理都在可测函数的框架内陈述[14]。
概率论中的对应物是事件域。样本空间的σ代数由可被赋予概率的事件组成，随机变量是概率空间上的可测函数，其分布由原像推得[10]。条件期望的定义、鞅的构造都要用到σ代数；在过滤等结构里，σ代数还承担刻画「部分信息」的作用[7]。
统计学中，充分统计量的数学定义需要用到子σ代数，在统计量本身是函数或随机过程、条件密度不适用的场合尤其如此[7]。此外，乘积σ代数用于描述多个可测空间直积上的可测结构，在度量空间等适当条件下，两个博雷尔σ代数的乘积与乘积空间自身的博雷尔σ代数一致[11]。
局限
σ代数不能对任意集合族的每个子集都赋予测度。维塔利集的构造表明，在承认选择公理的前提下，不存在定义在实数集全部子集上、既平移不变又可数可加的测度[17]。也正因如此，勒贝格测度只在勒贝格可测集这一σ代数上定义，而不能扩展到整个幂集[16]。
σ代数只要求对可数并封闭，不要求对任意并封闭，这构成一条硬性边界。测度的可加性同样只对可数多个互不相交的集合成立；对不可数多个单元素集求并，长度可加性并不成立[12]。
在多数情形下，一个σ代数的全部元素无法被显式写出，人们只能通过生成它的子族间接把握[8]。即便在实数轴上，博雷尔集中也可能出现不是博雷尔集的可测集，说明可测结构内部仍有分层[2]。可测性本身并不稳定：由不可测集构造的函数不可测，但它的平方却可能是常函数[18]。
参见
参考资料
- cambridge.org 上的网页 [引用日期2026-10-14]
- pfsl2(15) [引用日期2026-10-14]
- pku.edu.cn 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]
- 9781316519134_excerpt(PDF) [引用日期2026-10-14]
- Appendix B [引用日期2026-10-14]
- Measure and probability [引用日期2026-10-14]
- epfl.ch 上的网页 [引用日期2026-10-14]
- Measurable Space - Chapters and Articles [引用日期2026-10-14]
- ustc.edu.cn 上的文件 [引用日期2026-10-14]
- 1 Introduction [引用日期2026-10-14]
- **PROBABILITY AND MEASURE** [引用日期2026-10-14]
- 38-实分析与概率论(中文版.原书第2版)-[美]R.M.Dudley-机械工业出版社-2008_text(PDF) [引用日期2026-10-14]
- lecture-notes-1-7(PDF) [引用日期2026-10-14]
- paper(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 维塔利集的构造 | Bohrium [引用日期2026-10-14]
- CF_draft(PDF) [引用日期2026-10-14]
- integration-probabilites(PDF) [引用日期2026-10-14]
- The Existence of Non-Measurable Sets | Bohrium [引用日期2026-10-14]