定义
数列是按正整数编号依次排列的一列无穷多个数，可写作 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$，简记为 $\{x_n\}$，其中 $x_n$ 称为通项；本质上它是定义在正整数集上的函数[1]。数列中每一项都有确定的编号，次序不能颠倒，重复出现的项也不能随意舍去，这与集合的概念不同[3]。
所谓数列 $\{a_n\}$ 以常数 a 为极限，是指任给正数 ε，总存在自然数 N，使当 $n > N$ 时恒有 $|a_n - a| < \varepsilon$；这时称数列收敛于 a，记作 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$[1]。若数列不收敛于任何常数，则称它发散[3]。
定义中的量词次序不能调换：先任意给定一个 ε，再找出一个 N，最后对一切 $n > N$ 验证不等式[1]。N 的选择不唯一，只需存在即可，它一般依赖于 ε，因此也记作 N(ε)[1]。等价的说法是：任给 ε > 0，落在邻域 (a−ε, a+ε) 之外的项至多只有有限个[4]。
原理
极限的几何意义是：数列收敛于 a，意味着以 a 为中心、以任意小的 ε 为半径的邻域之外，数列中至多有有限项[4]。反过来，只要对每个正数 ε，邻域外的项都只有有限个，该数列就收敛于 a[4]。
收敛数列具有若干基本性质：极限唯一；收敛数列必有界；具有保号性，即若极限为正（或负），则从某一项之后各项均为正（或负）[5]。此外还有保不等式性与迫敛性，后者即夹逼性：若两个收敛数列都以 a 为极限，且第三个数列被夹在两者之间，则它也收敛于 a[5]。
若 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 都收敛，则它们的和、差、积、商（分母极限非零且分母各项不为零）分别收敛于对应极限的和、差、积、商[3]。判断收敛性常用的判据有：单调有界定理，即单调且有界的数列必有极限；柯西准则，即任给 ε > 0，存在 N，当 m, n > N 时 $|x_m - x_n| < \varepsilon$，它是数列收敛的充分必要条件[6]。
发展历程
极限的朴素思想在古代就已出现。中国三国时期数学家刘徽用圆内接正多边形推算圆面积，随着边数不断增加，正多边形面积无限接近圆面积，这个确定数值被理解为数列的极限，即割圆术[2]。古希腊时期也产生了类似的思想和相关的悖论，但尚未形成严格概念[7]。
17 世纪微积分诞生后，牛顿、莱布尼茨的论证依赖“无穷小量”，但未曾给出确定而一贯的定义，据此进行的推导在逻辑上存在争议。牛顿在《自然哲学的数学原理》中开始使用极限这一术语，18 世纪达朗贝尔主张把极限作为微积分的基础。
19 世纪，柯西在 1821 年的著作《分析教程》中给出了接近现代的极限描述：当一个变量逐次所取的值无限趋向于一个定值，使变量与该定值之差要多小就多小，这个定值就称为极限[4]。此后外尔斯特拉斯在 19 世纪 70 年代前后用 ε-N 语言把这一概念算术化，排除了依赖几何直观与“无限接近”描述的模糊性，形成现代教科书的通行定义[7]。
应用
数列极限是微积分理论的起点。函数在一点处的极限可以通过数列极限来刻画：函数极限存在，当且仅当任一满足 $x_n \ne x_0$ 且 $x_n \to x_0$ 的数列都有 $f(x_n) \to A$，这一结论称为海涅定理[8]。在此基础上建立的连续、导数、定积分等概念，构成高等数学理论体系的基础[2]。
数列极限的理论也是级数理论的基础[8]。级数收敛即其部分和数列收敛，判断数项级数收敛的许多判别法都由数列极限的性质与判据导出[9]。在计算层面，求极限的方法包括利用定义、四则运算法则、单调有界原理、迫敛性准则、柯西收敛准则、施托尔茨定理以及转化为定积分或函数极限等[10]。
极限概念并不局限于实数。数列极限、函数极限的概念、判别准则和运算法则都可以推广到复数、向量值函数以及更一般的空间，复数列的极限是复变函数论的基础，其中实数的绝对值相应地被复数的模取代[8]。
局限
ε-N 定义只对“收敛于某常数”给出刻画，本身不能直接算出极限值，实际求极限仍需借助各种判据与运算法则[3]。用定义验证极限的关键是找到满足条件的 N，通常要对 $|a_n - a|$ 作适当放大的估计，而不必求出最小的 N[3]。
数列相邻两项之差趋于零只是收敛的必要条件，并不充分；调和级数的部分和数列就是常被引用的反例，其相邻项之差趋于零却不收敛[4]。柯西准则给出的才是收敛的充分必要条件[6]。
极限的四则运算法则只适用于项数有限的运算，对无限项的和不能直接套用[3]。条件不足时结论也不成立：例如两个数列都发散，其和的敛散性并无必然结论[3]。此外，单调有界定理等判据依赖实数系的完备性，在有界与单调的条件缺失时不能据此断定极限存在[6]。
参见
参考资料
- 第二章 极限与连续 [引用日期2026-10-14]
- 第一章 极限与连续 [引用日期2026-10-14]
- 数列极限 [引用日期2026-10-14]
- 第二讲 [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-数列极限 [引用日期2026-10-14]
- 2017年北京师范大学硕士研究生招生考试大纲 [引用日期2026-10-14]
- 從微積分發展史中看極限概念的演變(三) [引用日期2026-10-14]
- 欢迎使用 GRID2008 数据库平台 [引用日期2026-10-14]
- 数学手册 [引用日期2026-10-14]
- 长江大学信息与数学学院2022年自命题科目考试大纲 [引用日期2026-10-14]