高等数学

定义

高等数学指相对于初等数学与中等数学而言、数学的对象及方法较为复杂的那一部分 。广义地说，凡初等数学之外的数学都可称为高等数学；也有把中学阶段较深入的代数、几何以及集合论初步、逻辑初步称为中等数学、视其为由初等数学通往大学高等数学的过渡的说法 ^[2]。通常认为，它是由微积分学、较深入的代数学与几何学及它们之间的交叉内容构成的一门基础学科，主干为微积分学与级数理论，其余内容因教材而异 。

以导数为例，它被定义为函数增量与自变量增量之比的极限：$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ ^[3]。极限是微积分最基本的概念，微分与积分都是特定过程、特定形式的极限 ^[4]。

背景

17世纪前后，力学与几何领域积累了一批实际问题，包括求曲线在某点处的切线、求图形或曲面的面积与体积、求物体运动的瞬时速度，以及求函数的极大值与极小值等 ^[3]。这些问题表面上互不相关，但在求解时都可以归结为同一类函数的极限问题 。

微积分的建立冲破了常量数学的长期统治，开启了变量数学，被认为是数学史乃至科学史上具有划时代意义的事件 ^[5]。17世纪，英国的牛顿与德国的莱布尼茨先后独立地建立起微积分体系，并证明了求积问题与求切线问题之间的互逆关系，微积分由此成为一门独立的学科 。在此之前，研究者对求积、求极值、求瞬时速度与求切线等问题的处理往往彼此分散，方法粗糙而缺乏统一的一般性 。

内容

高等数学的核心是微积分，其内容通常包括函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分（偏导数、重积分、曲线积分与曲面积分）等 ^[1]。各校教材在具体安排上略有差异，但普遍以微积分学与级数理论为主体，其他内容为辅 ^[2]。

微分学研究瞬时速度、切线斜率一类局部问题，积分学研究面积、路程累积一类整体问题 ^[3]。连接二者的关键是牛顿-莱布尼茨公式 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$，其中 $F$ 为 $f$ 的原函数，该式表明微分与积分互为逆运算，因此又被称为微积分基本定理 。

数学专业开设的对应课程称为数学分析，其证明与理论要求更高，更强调核心原理与逻辑推理 。高等数学则更侧重基本概念、定理内容与用微积分解决具体问题，面向的多为非数学专业的各类学生 。

影响与争议

微积分创立初期，牛顿与莱布尼茨对无穷小量的处理尚不严谨，招致不少批评，其中贝克莱在1734年把无穷小量讥为“消逝了的量的鬼魂” ^[6]。两人之间还爆发了持续百余年的微积分发明优先权之争，如今一般认为二人各自独立地创立了微积分 ^[7]。

19世纪初起，柯西等人建立起极限理论，指出无穷小量与无穷大量都不是固定的量，而是以零为极限的变量；此后魏尔斯特拉斯给出通用的极限定义，把导数与积分严格建立在极限之上，微积分才获得严密的理论基础 ^[7]。19世纪70年代前后，魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人又各自建立起实数理论，使数学分析建立在实数理论的严格基础之上 ^[7]。

此后高等数学发展为逻辑严密、系统完整的学科，成为其他数学分支的重要基础，并在自然科学、工程技术、经济管理等领域得到广泛应用，被视为理工类与管理类各专业最重要的数学基础课之一 。20世纪初，勒贝格提出的积分理论又把可积函数的范围进一步扩大 。

参见

• 数学分析 —— 数学专业以微积分为主要内容、理论要求更高的对应课程。

• 微积分 —— 高等数学的核心内容与主干。

• 极限 —— 微积分最基本的概念，微分与积分都建立在极限之上。

• 牛顿 —— 与莱布尼茨各自独立创立微积分的科学家。

• 莱布尼茨 —— 与牛顿各自独立创立微积分并确立其符号体系的数学家。