定义
设在区间 I 上，函数 F(x) 可导且对区间内每一点都有 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 在 I 上的一个原函数。原函数并不唯一：若 F(x) 是 f(x) 的原函数，则对任意常数 C，F(x)+C 同样是它的原函数[3][4]。
区间 I 上 f(x) 的全体原函数称为 f(x) 的不定积分，记作 ∫f(x)dx。其中 ∫ 称为积分号，f(x) 称为被积函数，x 称为积分变量，f(x)dx 称为被积表达式，任意常数 C 称为积分常数。若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，就有 ∫f(x)dx=F(x)+C[2][5]。
不定积分是一族函数而不是单个函数，这一点与定积分不同：定积分是一个数，不定积分是一个表达式，两者通过牛顿－莱布尼茨公式相联系[1]。
几何上，若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，曲线 y=F(x) 称为 f(x) 的一条积分曲线；不定积分 y=F(x)+C 则表示由这条曲线沿 y 轴平移 C 个单位得到的一族曲线，它们在横坐标相同的点处切线互相平行，斜率都等于 f(x)[3][6]。
原理
不定积分与微分运算互为逆运算，这一关系由微积分基本定理给出。对函数先积分再求导，结果仍是被积函数：$\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x)$；先求导再积分，则差一个积分常数：$\int F'(x)dx=F(x)+C$[5][7]。
原函数的结构可以证明。若 F(x) 与 G(x) 都是 f(x) 的原函数，则它们的差有 (F(x)−G(x))′=f(x)−f(x)=0；在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，因此 G(x)=F(x)+C。这说明只要求出任意一个原函数，再添加任意常数，就得到全部原函数[1][4]。
原函数是否存在的问题由原函数存在定理回答：若 f(x) 在某区间上连续，则它在该区间上必有原函数，连续性是充分条件而非必要条件。含有第一类间断点的函数在包含该点的区间内一定没有原函数[8][2]。
不定积分运算具有线性性质：两个函数代数和的不定积分等于各自不定积分的代数和，即 $\int[f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$；被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外，即 $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$[5][6]。
flowchart LR
A["已知函数 f(x)"] -->|求导 d/dx| B["导函数 f'(x)"]
B -->|不定积分 ∫·dx| C["原函数族 F(x)+C"]
C -->|求导 d/dx| B
发展历程
积分思想的源头可追溯到古希腊时期求面积与体积的问题，阿基米德曾用穷尽法求出抛物线弓形等图形的面积；此后卡瓦列里、费马、帕斯卡等人分别用不可分量法、动态穷尽法处理过一批具体的求积问题[9][10]。
17 世纪，艾萨克·牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨各自独立地明确了求切线问题与求积问题之间的互逆关系，并给出微积分基本定理，使微积分成为独立学科。牛顿从运动学出发建立流数术，莱布尼茨则从差和分的类比出发建立微分与积分运算[11][12]。
莱布尼茨在 1675 年前后引入了沿用至今的积分记号 ∫，它取自拉丁词 summa（和）的首字母 s 的拉长形式；积分一词则出自莱布尼茨的追随者约翰·伯努利的建议。这套记号使积分运算得以普遍而系统地表述[13][9]。
19 世纪，柯西在 1823 年前后借助分割求和定义连续函数在区间上的积分，黎曼在 1854 年进一步给出有界函数可积的充要条件。刘维尔在 1833 年至 1841 年间研究初等函数的积分能否仍为初等函数，并于 1835 年证明了存在没有初等原函数的初等函数，从而说明不定积分并非总能以有限形式求出[13][14]。
应用
不定积分是计算定积分的前提。根据牛顿－莱布尼茨公式，若 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$，因此许多定积分可以通过先求不定积分再代入上下限得到[1][11]。
在物理与几何问题中，不定积分用于从变化率还原整体量。已知速度函数求运动规律就是求速度的原函数；若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则由曲线 y=f(x)、x 轴及两条竖直线围成的曲边梯形面积函数也是 f(x) 的一个原函数[8][15]。
求不定积分的基本手段是熟记基本积分表，并运用换元积分法与分部积分法。基本积分表由基本初等函数的导数公式反向写出，例如 $\int x^{\mu}dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C(\mu\neq-1)$、$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$、$\int e^x dx=e^x+C$[16][7]。
局限
不定积分不能脱离区间谈论。两个导数相同的函数只在连通区间上才相差一个常数，一旦区间不连通，结论就会失效。例如 arctan x 与 arctan(1/x) 的导数在去掉原点的实数集上重合，但两者之差在 x>0 与 x<0 时分别取不同的常数值[15]。
存在原函数不等于原函数能用初等函数写出。刘维尔定理表明，某些初等函数的原函数无法表示成初等函数的有限组合，这类积分称为非初等积分，常见的例子有 $\int e^{-x^2}dx$、$\int\frac{\sin x}{x}dx$、$\int\frac{dx}{\ln x}$ 等[14]。
连续函数一定有原函数，反之不成立。有第二类间断点的函数仍可能有原函数，例如在原点补充定义后取值为零、其余点取 $x^2\sin\frac{1}{x}$ 的函数，其导函数在 x=0 处是第二类间断点；而含有第一类间断点的函数一定不存在原函数[2]。
由于积分常数 C 的任意性，等式 ∫f(x)dx+C₁=∫f(x)dx+C₂ 并不能推出 C₁=C₂，不定积分作为函数族在书写与比较时需要特别注意[17]。
即使原函数无法用初等函数表达，仍可借助泰勒级数逐项积分或数值积分近似计算相应定积分的值；部分反常积分甚至能在原函数非初等的情况下用初等结果表示，例如高斯积分的结果为 $\sqrt{\pi}$。
参见
参考资料
- [科普中国]-不定积分 [引用日期2026-10-14]
- 第四章 不定积分 [引用日期2026-10-14]
- bnu.edu.cn 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]
- 第三章 [引用日期2026-10-14]
- 第3章 [引用日期2026-10-14]
- hxedu.com.cn 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]
- \[ [F(x) + C]' = f(x), \quad x \in I \] [引用日期2026-10-14]
- [科普中国]-原函数 [引用日期2026-10-14]
- \[d(\frac{1}{3}x^3) = x^2 dx\] [引用日期2026-10-14]
- 936 数学分析讲义_第一册 陈天权_text(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 高等数学历史简介 [引用日期2026-10-14]
- sinica.edu.tw 上的 PDF 文件 [引用日期2026-10-14]
- aspects_historiques(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 刘维尔：一位纯粹及应用数学大师 [引用日期2026-10-14]
- [俄罗斯数学教材选译] 07.数学分析(第1卷.第4版) 0[俄]卓里奇 0高等教育出版社 02006_text(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 930 数学分析简明教程 上册_text(PDF) [引用日期2026-10-14]
- 图文详情——科普中国资源服务 [引用日期2026-10-14]