积分中值定理

定义

积分中值定理是描述定积分值与函数在积分区间内某点取值之间关系的一组命题，属于中值定理的组成部分，与微分中值定理并列。按照条件与结论的不同，它分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，二者各自包含若干公式与推论。^[2]

积分第一中值定理的一种常见表述是：设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积，$g(x)$ 在区间上不变号，且 $f(x)$ 连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\varepsilon$，使得 $\int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(\varepsilon)\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$。若再取 $g(x)\equiv 1$，就退化为最常用的形式 $\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = f(\varepsilon)(b-a)$。^[3][4]

积分第二中值定理则处理被积函数之一为单调函数的情形。在 $f(x)$、$g(x)$ 于 $[a,b]$ 上可积且 $f(x)$ 单调的条件下，区间内至少存在一点 $\varepsilon$，使 $\int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x = f(a)\int_{a}^{\varepsilon} g(x)\mathrm{d}x + f(b)\int_{\varepsilon}^{b} g(x)\mathrm{d}x$；当 $f(x)\geq 0$ 且单调递减或单调递增时，结论还可以进一步简化。^[3]

原理

第一中值定理的证明依托闭区间上连续函数的性质。由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，它在区间上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$；结合 $g(x)$ 不变号，利用定积分的保序性可得 $m\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x \leq \int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x \leq M\int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x$。当 $g$ 的积分不为零时，两端同除该积分，所得比值介于 $m$ 与 $M$ 之间，再由介值定理即可得到所需的点。^[4]

第二中值定理的证明常借助分部积分与第一中值定理。设 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\mathrm{d}t$，由分部积分公式展开 $\int_{a}^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x$，由于 $g$ 单调使其导数不变号，对含 $g'(x)$ 的积分使用定积分第一中值定理，即可导出第二中值定理的等式形式。$F(x)$ 与 $g(x)$ 的单调性、可积性是其中的关键前提。^[5]

从几何角度看，第一中值定理把曲边梯形在区间 $[a,b]$ 上的面积表示为底为 $b-a$、高为 $f(\varepsilon)$ 的矩形面积，说明函数在某点的取值可以作为整个区间上的平均高度。这种量 $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x$ 被称为函数在区间上的积分均值，它把有限个数的算术平均推广到连续函数情形。^[2][6]

发展历程

积分中值定理与微分中值定理在微积分学中长期并列出现。微分中值公式把函数值之差表示成某点导数值与区间长度之积，而积分中值公式把定积分表示成某点函数值与区间长度之积，两者在形式上相互对应。在经典表述中，点 $\varepsilon$ 的取值范围通常写作闭区间 $[a,b]$。^[7]

关于中值点能否落在区间内部，后来出现了不少讨论与改进。有研究指出，在沿用积分估值公式与连续函数性质的通常论证中，只能得到 $a\leq \varepsilon\leq b$ 的结论，取到端点时无法断言点在内点；也有文献通过在定理条件下补充论证，证明中值点可以在开区间 $(a,b)$ 内取得，并把结论推广到被积函数在端点为第一类间断点或瑕点的情形。^[7][8]

此后，围绕第一中值定理的推广工作持续出现，包括将其条件放宽、把结论中的区间由闭区间改为开区间，以及在更弱条件下得到柯西型积分中值定理等结果。相关研究见于《高等数学研究》《韶关学院学报》等刊物。^[9][10]

应用

在求极限时，若极限式中含有定积分，常可利用积分中值定理去掉积分号，使式子化为关于中值点的表达式后再求解。含参变量的积分或形如 $\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\mathrm{d}t$ 的表达式，都可以借助该定理改写，从而判断其极限趋于何处。^[6]

在估计积分值方面，当被积函数难以求出原函数或原函数很复杂时，可以把变化缓慢的部分或积分困难的部分单独处理。例如对形如 $\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{\sqrt{1+x}}\mathrm{d}x$ 的积分，用中值定理可将其写成 $\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon}}$ 的形式，再根据 $\varepsilon$ 所在范围给出积分的上下界估计。^[11]

证明不等式也是常见用途。当不等式中含有相同积分区间上的多个定积分时，可先合并这些积分，再依据被积函数满足的条件选用积分第一或第二中值定理去掉积分符号。对于乘积型被积函数，则常与分部积分配合使用。^[1]

在理论分析层面，积分第二中值定理是建立反常积分收敛判别法的重要工具。此外，它在傅里叶级数系数符号的讨论等问题中也有使用，例如可用来判断某些三角函数积分的正负。^[2][5]

局限

定理本身只保证中值点存在，并不给出它的具体位置，也不能说明该点唯一。在实际计算中，公式里的 $\varepsilon$ 是一个依赖于函数和区间的未知量，因此并不能直接由定理算出积分的数值。^[2]

在含参数的极限问题中，中值点往往随参数变化，若其可能取到区间端点，直接对 $f(\varepsilon)$ 取极限会得到错误结论。已知的反例表明，处理 $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1+x}\mathrm{d}x$ 一类问题时，不能简单地把 $\varepsilon^{n}$ 当作随 $n$ 趋于零的量，必须同时考察中值点位置的变化。^[11]

定理的成立依赖函数连续性、可积性与不变号、单调性等条件。当 $g(x)$ 只在区间上可积且不变号时，由于它可以取零值，用柯西中值定理处理的方式不再适用，需要另行论证；若去掉这些条件，结论一般不成立。

参见

• 微分中值定理 —— 与积分中值定理并列的另一类中值定理，刻画导数值与函数值之差的关系

• 介值定理 —— 连续函数的重要性质，是证明积分第一中值定理的关键工具

• 定积分 —— 积分中值定理的研究对象

• 柯西中值定理 —— 微分中值定理的推广形式，也用于给出积分中值定理的加强结论

• 反常积分 —— 积分第二中值定理是其收敛判别法的重要工具