索洛模型

定义

索洛模型是一种以新古典生产函数为基础、说明经济长期稳定增长所需条件的经济增长模型，亦称新古典经济增长模型或外生经济增长模型^[1]。它是对哈罗德-多马模型的发展：哈罗德-多马模型假定资本产出比固定不变，给定储蓄率就决定一个增长率，而实际增长率很难与有保证的增长率和自然增长率保持一致，长期稳定增长事实上难以实现，索洛把这种难以实现的增长途径称为“刃锋”^[1]。索洛模型则通过允许资本产出比可变来化解这一“刃锋”问题^[1]。

模型设定若干前提：全社会只生产一种产品，生产要素之间可以相互替代，生产的规模收益不变，储蓄率不变，技术进步外生给定，人口增长率不变^[2]。在这些假设下，模型分析储蓄率、折旧率、人口增长率与技术水平等因素对一国经济增长的影响^[4]。

原理

模型从总量生产函数出发，假定产出由资本和劳动两种要素在生产函数中生产，技术水平影响既定资本与劳动组合下的产出^[5]。常用的形式为柯布-道格拉斯型生产函数 $Y=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$，其中 $A$ 表示劳动增进型技术或知识，$AL$ 称为有效劳动^[6]。把模型化为人均形式后，可得核心方程 $sf(k)=\Delta k+nk$，其中 $s$ 为储蓄率，$k$ 为人均资本占有量，$f(k)$ 为人均形式的生产函数，$n$ 为人口增长率，$\Delta k$ 为单位时间内人均资本的改变量^[2]。

方程的含义是，人均储蓄被用于两个部分：一部分使人均资本增加 $\Delta k$，即为人配备更多资本设备，称为资本深化；另一部分为新增人口按原有人均资本水平配备设备 $nk$，称为资本广化^[2]。当人均储蓄恰好等于为新增人口配备资本所需的量，即 $\Delta k=0$ 时，人均资本不再变化，经济达到稳定状态，此时人均产出和资本保持不变，经济增长率等于人口增长率^[2]。由于资本边际产品递减，人均资本越多，新增投资对产出的推动作用越小，经济体最终会收敛到稳态^[5]。

在引入技术进步后，以有效劳动为单位衡量，经济会达到新的稳态，此时单位产出所需的人均工时保持不变，而稳态中的人均产出将以技术进步率持续增长^[6]。因此模型得出的结论是：经济增长路径是稳定的，在长期，只有技术进步是增长的来源；储蓄率提高只在短期带来更高增长，长期人均产出增长率由技术进步率决定，人均资本存量更低的经济体向稳态收敛的速度更快^[3]。

发展历程

1956 年，罗伯特·索洛发表《对经济增长理论的一个贡献》一文，提出索洛增长模型，用以解释第二次世界大战后的经济增长^[3]。该模型修正了哈罗德-多马模型的不足，采用新古典生产函数刻画生产技术，资本、劳动等要素可以相互替代且边际产出递减^[3]。同期斯旺也进行了相近的工作，因此该模型常被合称为索洛-斯旺模型^[6]。

1957 年，索洛发表《技术变迁和总生产函数》，提出用全要素生产率即“索洛余项”来刻画技术进步^[3]。他测算发现，1909 年至 1949 年间美国人均产出增长的 87.5% 来自技术进步^[3]。在剔除资本积累影响后仍无法解释的那部分产出增长被称为“索洛剩余”，它衡量特定时期内全要素生产率的外生增长；这一剩余通常被归因于技术进步，但也包含要素组合效率的持续改善和管理方法改进带来的生产率提升^[6]。

由于模型把技术进步视为外生变量，后续研究沿几个方向对其扩展：卡斯和库普曼斯将储蓄率内生化，形成拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型；罗默等人发端的新增长理论把技术进步内生化，强调用模型内部的因素解释长期经济增长，大致涉及非递减报酬、内生技术进步以及内生的人口增长和劳动供给 3 种类型^[7]。此外还有曼昆等人引入人力资本因素、引入环境约束和老龄化因素等扩展^[3]。索洛因在经济增长理论方面的研究获得 1987 年诺贝尔经济学奖^[8]。

应用

索洛模型可用于从数量上和理论上探讨导致经济增长的因素，并衡量各种生产要素对经济增长所起的作用^[9]。其增长核算方法常被用于测算一个国家或地区经济增长中资本、劳动与全要素生产率各自的贡献率^[3]。

在实证研究中，该框架被用于分析各国的增长绩效与发展政策。以中国为例，有测算显示 2004 年投资率按资本形成总额占 GDP 的比重计算达到 45.2%，人均资本量增加对 GDP 增长的贡献高于全要素生产率的贡献。相关讨论指出，若增长高度依赖投资，投资的边际报酬递减会使投资增速不变条件下的经济增速放缓，这一现象被概括为“索洛诅咒”。

全要素生产率也是评估技术进步的常用指标。经济史研究把劳动生产率增长分解为教育、资本深化和全要素生产率，认为全要素生产率涵盖重大创新、技术的增量式修补以及其他提高效率的因素，是衡量创新和技术进步的最好标准^[8]。有研究对索洛模型的核心假设“边际报酬递减”进行检验，使用佩恩世界表 8.0 版数据确认其显著存在，从而支持模型对发展政策的含义^[10]。

局限

模型把技术进步设为外生变量，虽可在统计上估算其贡献，却难以在模型内部解释其来源，全要素生产率被视为一种从模型外部降临的力量^[2]。模型中的 3 个关键变量——储蓄率、技术进步率和人口增长率——都是外生的，这促使后来者致力于把它们内生化^[7]。

对储蓄率为常数的假设也存在批评，认为储蓄率和相应投资取决于家庭和厂商在效用最大化下的决策，而非外生给定^[6]。另有看法认为，把资本视为单一性质的简单投入会得出投资只是不断添加同样旧式机器的结论，因而低估了资本积累对增长的作用；内生增长理论即不同意模型关于投资效益递减的性质。

在测算层面，索洛剩余衡量的是多要素生产率而非平均劳动生产率，两种口径的增速存在差异，采用不同生产率假设或测量指标会使模型有多种表述^[6]。此外，模型结论建立在充分就业、封闭经济、政府作用可忽略等简化假设之上，与现实中存在失业、国际贸易和政府收支的情况并不完全一致^[4]。

参见

• 全要素生产率 —— 索洛模型用以度量技术进步贡献的核心指标，也称索洛余值。

• 哈罗德-多马模型 —— 索洛模型所修正和发展的早期增长模型，其资本产出比固定假设是索洛模型的出发点。

• 内生增长理论 —— 针对索洛模型技术进步外生化局限而发展出的增长理论。

• 拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型 —— 将索洛模型中的储蓄率内生化后的扩展模型。

• 柯布-道格拉斯生产函数 —— 索洛模型常用的生产函数形式。

• 经济增长核算 —— 以索洛模型为基础分解各要素增长贡献的实证方法。