卡方检验

定义

卡方检验是一种非参数假设检验方法，用于分析分类变量（又称计数资料），即只记录每个类别出现次数的数据，而不适用于身高、体重这类连续取值的数据^[1]。它通过比较各类别的观测频数与在原假设成立时算出的期望频数，来判断观察到的差异能否仅由随机抽样波动解释。

检验通常先建立原假设，例如假定变量之间无关或数据服从某一理论分布，再依照公式计算统计量，最后与卡方分布的临界值比较或据此算出概率值^[2]。按其目的不同，卡方检验主要分为拟合优度检验和独立性检验两大类，前者检验观测分布与理论分布是否相符，后者检验两个分类变量之间是否独立^[3]。

原理

卡方检验的统计量是各单元格上观测频数与期望频数之差的平方，再除以该单元格的期望频数，最后对所有单元格求和^[4]。写作公式即 $\chi^{2}=\sum \frac{(O-E)^{2}}{E}$，其中 $O$ 表示观测频数，$E$ 表示期望频数^[1]。差值先取平方，是为了避免正负偏差相互抵消；再除以期望频数，则是为了让各类别规模不同时仍有可比性^[1]。

在独立性检验中，数据被整理成行列交叉的列联表，若两变量相互独立，则每个单元格的期望频数等于该行合计与该列合计的乘积再除以总样本量^[5]。自由度按行数减 1 与列数减 1 的乘积计算；当自由度为 1 时，通常还会对统计量做连续性校正^[3]。拟合优度检验的自由度则等于类别数减 1，若理论分布中含有需要由样本估计的参数，每估计一个参数还要再减少 1 个自由度^[6]。

发展历程

卡方检验及其统计量由英国统计学家卡尔·皮尔逊于 1900 年首次提出，相关论文发表于《哲学杂志》，其中同时阐述了卡方分布与拟合优度检验^[1]。皮尔逊最初关注的是生物遗传学中如何度量观察值与理论值的差异，卡方分布为这一问题提供了量化手段，也使得统计推断不再必须依赖正态分布假设^[7]。

针对小样本下近似效果不佳的问题，后人提出了若干改进。耶茨连续性校正通过把偏差的绝对值减少 0.5 来修正 2×2 列联表的统计量，使结果更接近真实概率，但这一做法后来也被认为偏于保守^[8]。费希尔则提出了基于超几何分布的精确检验，在小样本或期望频数偏低时可直接算出概率，无需依赖近似^[9]。

应用

在医学与流行病学研究中，卡方检验常用于判断暴露因素与疾病之间是否存在关联，例如比较吸烟组与非吸烟组的发病比例是否相同^[1]。市场调查中，它可以用来检验顾客类型与购买型号之间是否独立，从而判断两类变量是否存在联系^[5]。

在遗传学中，该方法既可用于检验实际观测到的表型分离比是否符合孟德尔比例，也可用于检验群体的基因型频率是否处于哈迪-温伯格平衡，后者是基因组关联研究中控制数据质量的常用手段^[10]。在数据分析实践中，卡方检验也被用于特征筛选，辅助判断某个分类特征与目标变量是否相关^[7]。

局限

卡方检验对期望频数的大小较为敏感。常用经验法则是所有单元格的期望频数都不小于 5，较为宽松的科克伦法则要求没有期望频数小于 1 的单元格，且期望频数小于 5 的单元格不超过总数的 20%^[8]。当这一条件不满足时，统计量的实际分布会偏离卡方分布，得到的概率值可能明显失真，此时应改用费希尔精确检验，或把相邻类别合并以增大期望频数^[11]。

该检验还要求观测值彼此独立。若数据存在聚集或对同一对象重复测量，把相关观测当作独立数据点会低估真实的不确定性，容易把随机波动误判为显著结果^[12]。此外，卡方检验只回答差异是否显著，不能说明关联的强弱；样本量足够大时，很微弱的关联也可能得到显著结果，因此通常需要同时报告克拉默 V 或 Phi 系数等效应量指标^[13]。

这个方法针对的是分类变量，对有序类别和连续变量并不理想。将连续的或有序的数据强行分组后再做卡方检验，会损失信息，而且分组方式或分界点的选择也会影响结果^[14]。显著的结果只表明变量之间存在关联，并不等于因果关系，若存在未加控制的混杂因素，结论还可能被误导^[12]。

参见

• 卡尔·皮尔逊 —— 1900 年提出卡方统计量与卡方分布的英国统计学家。

• 费希尔精确检验 —— 在期望频数偏低或样本量较小时替代卡方检验的精确方法。

• 列联表 —— 卡方独立性检验所依据的二维计数表格。

• 哈迪-温伯格平衡 —— 遗传学中常用卡方检验核查的基因型频率平衡状态。

• P值 —— 卡方检验结果用于判断统计显著性的核心指标。