质心运动定理

定义

设质点系由若干质点组成，第 $i$ 个质点的质量为 $m_i$、相对某坐标原点的位矢为 $\vec{r}_i$，系统总质量 $M=\sum_i m_i$，则质心的位置矢量 $\vec{r}_C=\dfrac{\sum_i m_i\vec{r}_i}{M}$，即按质量加权的平均坐标；对质量连续分布的物体，求和式相应改为积分^[3][4]。质心的位置只由系统质量的大小与分布决定，它并不一定落在物体内部^[6]。

质点系总质量与质心加速度的乘积，等于作用在该系统上全部外力的矢量和，这一关系称为质心运动定理，其数学表达式为 $M\vec{a}_C=\sum\vec{F}_i^{(\mathrm{e})}$，式中 $\vec{F}_i^{(\mathrm{e})}$ 表示作用于各质点的外力^[1][2]。定理的英文名称为 theorem of motion of centre of mass^[2]。其含义是，不论系统质量如何分布、外力作用于什么位置，质心的运动都同一个集中了全部质量、并承受全部外力矢量和作用的质点的运动一样^[7][8]。

由于系统总动量可写作 $\vec{p}=M\vec{v}_C$，质心运动定理也是质点系动量定理的另一种表达形式^[2][4]。在质点动力学中把实际物体当作质点并应用牛顿第二定律，所研究的其实就是物体质心的运动^[3]。

原理

定理以牛顿运动定律为基础导出。对系统中每一个质点分别写出牛顿第二定律，把作用力区分为系统外部施加的外力与质点之间的内力^[8][7]。依据牛顿第三定律，系统内部各质点间的相互作用力总是成对出现、大小相等而方向相反，把各质点的方程逐式相加后，内力项全部抵消，等式右端只剩下全部外力的矢量和^[8][5]。再对质心位矢的定义式求二阶导数，即得 $M\vec{a}_C=\sum\vec{F}_\text{外}$^[7][8]。

由该定理可直接得到几条推论：其一，系统的内力不能改变质心的运动，只能改变各质点相对于质心的运动；其二，若作用于系统的外力矢量和恒为零，则质心保持静止或作匀速直线运动；其三，若外力矢量和在某一坐标轴上的投影恒为零，则质心速度在该轴上的投影保持不变^[2][3]。外力矢量和为零时质心速度保持不变，这一结论与系统的动量守恒定律相互对应^[9][3]。

flowchart TD

A[对各质点分别列出牛顿第二定律] --> B[内力成对出现并相互抵消]

B --> C[方程相加得 M a_C 等于外力矢量和]

C --> D[质心运动定理]

发展历程

质心概念的源流可以上溯到古希腊。阿基米德在研究杠杆平衡时发现，分布在杠杆各处的重物所产生的转动效果，与把全部重量集中到某一点时的效果相同，并给出了求匀质物体重心位置的方法，这被视为质心思想的起点^[10][6]。此后亚历山大的帕波斯、沃利斯、瓦里尼翁等人继续发展了重心与质心的计算理论^[6]。

在牛顿建立运动三定律之后约半个世纪，莱昂哈德·欧拉把牛顿第二定律相对于质心重新表述，形成欧拉第一定律：物体线动量的变化率等于作用在它上面的外力合力，组成物体的各质点之间的内力不改变其整体运动^[11][12]。这一表述实际上给出了质心运动定理的内容^[12]。

在中文文献中，质心运动定理被归入动力学普遍定理^[1]，并作为条目收入《中国大百科全书》第一版力学卷，由戴宗信撰写，1987年出版^[3]。

应用

在体育运动的动作分析中，跳水、跳马运动员起跳后在空中无论完成何种动作、采取何种姿势，所受外力（重力）都没有改变，其质心在入水或落地之前仍做抛体运动，沿抛物线轨迹移动^[2][13]。

对于爆炸、碰撞一类过程，系统内部作用往往十分复杂，但由于爆炸力属于内力，炮弹在空中爆炸后即使碎片四散，全部碎片的质心仍继续沿原来的弹道曲线运动；在光滑水平面上滑动的扳手，其质心则作匀速直线运动^[8][13]。

在理论力学与工程力学中，质心运动定理经常被用来求约束反力^[14]。

在天体力学和粒子碰撞等问题中，引入质心及质心参考系可以把复杂的多体问题拆开处理，例如两体问题在质心参考系中可化为两个独立的单体问题；星系碰撞、翻滚的扳手等系统，其质心运动也比各部分的细节简单得多^[15][16]。

局限

定理只给出质心的加速度，并未对整个质点系作出全面描述，它不反映各质点围绕质心的运动，也不反映各质点之间的相对运动^[3]。

定理建立在牛顿运动定律之上，其成立以惯性参考系为前提；在非惯性参考系中分析质点动力学问题需要另行引入惯性力，运动方程的形式也随之改变^[17]。

当系统在运动过程中不断吸收或抛出质量，例如火箭依靠喷出燃气前进时，属于变质量问题，需要单独建立运动方程，不能直接套用质量不变条件下的定理形式^[18]。

在相对论力学中，质心概念不再具有明确的物理意义，因为不同惯性系对同时性的判定不同，同一时刻系统的质心位置一般也不相同，此时更常用的是系统总动量为零的参考系^[6]。此外，在非均匀引力场中，质心的加速度与把全部质量集中在质心处的质点所应具有的加速度一般并不相等^[6]。

参见

• 质心 —— 定理所描述的运动主体，其位置由各质点质量加权平均确定。

• 动量定理 —— 与质心运动定理等价的一种表述，其微分形式给出系统总动量的变化率。

• 动量守恒定律 —— 系统所受外力矢量和为零时，质心速度保持不变。

• 质心参考系 —— 以质心为原点的参考系，系统总动量在其中恒为零。

• 牛顿运动定律 —— 质心运动定理由牛顿第二定律和第三定律导出。

• 刚体 —— 刚体作平动时，整体运动可由其质心的运动确定。