奈奎斯特采样定理是信号处理与通信理论中的一条基本定理，它给出用离散样本无失真表示连续信号所需的最低采样速率[1]。定理指出，若连续信号的频谱被限制在最高频率 f_max 以内，则当采样频率 f_s 大于 2f_max 时，采样值包含原信号的全部信息，可用理想低通滤波器重建原信号[2]。采样频率的一半称为奈奎斯特频率，是能够无混叠重建的最高频率[3]。该定理是模拟信号数字化的理论依据[4]。
定义
奈奎斯特采样定理给出一个充分条件：对于最高频率为 f_max 的带限连续信号，只要以等间隔进行采样，且采样频率 f_s 满足 f_s ≥ 2f_max，就能由采样序列唯一地恢复原信号[1]。低于这一速率时，高于采样频率一半的频率成分会折叠到低频，产生称为混叠的失真[2]。
采样频率的一半称为奈奎斯特频率，也称折叠频率，是采样器自身的一个特性；对于给定的采样率，它是能够被无混叠重建的最高信号频率[5]。与奈奎斯特频率对应，两倍最高频率称为奈奎斯特速率[6]。定理与奈奎斯特速率都是以哈里·奈奎斯特的名字命名的[5]。
原理
采样把连续时间信号转换为离散时间信号，在频域上表现为原信号频谱以采样频率为周期被复制[7]。设原信号频谱占据 −f_b 至 f_b，复制后的各个频谱副本之间不重叠的条件即为 f_s > 2f_b；若采样频率不够，相邻副本会互相交叠，基带内混入高频分量，形成混叠[7]。
重建通过一个理想低通滤波器完成，其作用是保留奈奎斯特频率以下的分量、滤除各次频谱镜像[7]。该滤波器的冲激响应为 sinc 函数，在时域上无限延伸，因此理想的精确重建无法实际实现，工程上只能用逼近的滤波器[7]。另一种表述是：理想低通滤波器可以让每一点取值还原，条件是采样周期 T 满足 T < 1/(2f_max)[8]。
混叠的成因可以用两个不同频率的正弦信号说明：若采样不满足定理，对它们采样可能得到完全相同的样本序列，因而无法区分原信号[9]。为避免这种模糊，采样前通常接入抗混叠低通滤波器，把高于采样频率一半的成分预先滤除[3]。
发展历程
1928 年，美国电信工程师哈里·奈奎斯特在研究电报传输时发表了《电报传输理论的一定论题》，提出了这一理论的基本框架，指出带宽为 B 的传输系统可以传送约 2B 个脉冲样本。贝尔实验室在 1959 年出版的书中首次把它称为奈奎斯特采样定理[10]。
1933 年，苏联无线电物理学家科捷利尼科夫独立证明了该定理，并首次用公式严格表述，苏联文献因此称其为科捷利尼科夫采样定理[1]。1948 年，克劳德·香农在《通信的数学理论》中明确陈述并引用了这一定理，把它作为数字通信的第一步，此后它又被称作香农采样定理[11]。香农本人并未把发现归功于自己，而是称其为通信领域的常识[11]。
在香农之前，E. T. 惠特克于 1915 年、H. P. 拉贝于 1939 年也分别给出过相关结果；日本学者染谷在 1949 年同样证明了采样定理[11]。目前较常用的名称是奈奎斯特-香农采样定理，兼顾几位关键贡献者[10]。
应用
该定理是模拟信号与数字信号相互转换的理论依据，模数转换器和数模转换器的采样率选择都以它为准。数字信号处理中，它还用来确定限带滤波器的参数，把采样或改变采样率时的混叠控制在可接受范围内[2]。
在语音通信中，话音信号的最高频率约限制在 3400 Hz，据此最低采样频率为 6800 Hz，而国际电报电话咨询委员会规定话音抽样率为 8000 Hz，留出滤波器的防卫带[1]。音频光盘采用 44100 样本/秒的采样率，对应的奈奎斯特频率为 22.05 kHz，高于人耳听觉上限约 20 kHz[5]。
对多变量函数，定理可直接推广：灰度图像是行列采样位置上的像素二维阵列，需要行、列两个独立索引来唯一确定每个像素。工程实践中常采用高于最低要求速率的过采样，以便降低模拟器件和抗混叠滤波器的指标要求[9]。
局限
定理要求信号严格带限，而现实中的工程信号大多不是带限信号，无法直接采样。信号在时间上有限时，其频谱不会严格为零，任何采样周期都会引入混叠，只是高频分量较弱时可以近似处理[12]。
理想重建所需的低通滤波器具有无限时域延伸，截止特性无法完美实现，因此完全无失真的重建只能停留在理论层面，实际系统要留出防卫带，使采样率高于奈奎斯特速率[9]。为保证抗混叠滤波器性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和重建中仍可能发生畸变，实际信号带宽通常略小于奈奎斯特频率[3]。
还需注意奈奎斯特频率必须严格大于信号的最高频率：若最高频率恰好等于奈奎斯特频率，该分量的采样会因相位模糊而对应无穷多种正弦波，不足以重建原信号[3]。此外，定理的经典形式假设等间隔采样；在信号满足稀疏性等附加约束时，可以用低于奈奎斯特速率的采样率实现重构，这正是压缩感知所研究的途径[2]。
参见
参考资料
- [科普中国]-抽样定理 - 版权归原作者所有，如有侵权，请联系我们 . kepuchina.cn [引用日期2026-10-04]
- Nyquist–Shannon sampling theorem - Skip to main content . epfl.ch [引用日期2026-10-04]
- 图文详情——科普中国资源服务 . kepuchina.cn [引用日期2026-10-04]
- 科学百科：采样定理 . kepuchina.cn [引用日期2026-10-04]
- concepts . epfl.ch [引用日期2026-10-04]
- concepts . epfl.ch [引用日期2026-10-04]
- vsp_djvu . archive.org [引用日期2026-10-04]
- google.com 上的网页 . google.com [引用日期2026-10-04]
- Sampling Theorem - Chapters and Articles . sciencedirect.com [引用日期2026-10-04]
- 尼奎斯特采样定理 . baidu.com [引用日期2026-10-04]
- FourierAndWaveletSignalProcessing(PDF) . archive.org [引用日期2026-10-04]
- sampling-function . sciencedirect.com [引用日期2026-10-04]
浏览次数：1 次
阅读量：0 次 · 阅读完成量：0 次
最近更新：2026-10-03T18:19:06Z
完成率 = 阅读完成量 ÷ 阅读量，分母是阅读量不是浏览次数 —— 关了 JS 的、秒退的都在浏览次数里、不在阅读量里。 详细口径在后台的「数据统计」页。