介数中心性是图论与网络科学中基于最短路径衡量节点重要程度的一种中心性指标，其数值等于网络中所有节点对之间的最短路径里经过该节点的比例之和。它刻画的是一个节点作为中介者、控制或调节其他节点之间信息流通的能力，数值越高说明该节点越多地处在他人沟通的必经之路上。这一指标由弗里曼于1977年给出第一个正式定义，被广泛用于社会网络、生物网络、交通网络与通信网络的分析。
定义
介数中心性是一种以最短路径为基础的网络中心性度量。对于一个连通图，任意两个节点之间至少存在一条最短路径；在无权图中，最短路径指包含边数最少的路径，在加权图中则指各边权重之和最小的路径。某个节点的介数中心性，就是这些最短路径中穿过该节点的次数。
形式化的表述为：节点 $v$ 的介数中心性等于对所有节点对 $s$、$t$ 求和，每项为从 $s$ 到 $t$ 的最短路径中经过 $v$ 的条数除以最短路径总数。记 $\sigma_{st}$ 为 $s$ 到 $t$ 的最短路径总数，$\sigma_{st}(v)$ 为其中经过 $v$ 的条数，则有 $C_B(v)=\sum_{s\neq v\neq t}\frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}$。[1]
当一对节点之间存在多条长度相同的最短路径时，该节点只按其所占的比例计入，而不是简单计数，这一处理避免了并列路径带来的重复计算。若某节点位于其间的最短路径越多，其介数中心性就越高，说明它在结构上越处于枢纽或桥梁的位置。
原理
介数中心性背后的假设是：网络中的信息或资源主要沿最短路径流动。在此前提下，处在大量最短路径上的节点就拥有影响或控制信息传递的潜在能力，可以被看作群体中的协调者或“中介”。[2]
以星形网络为例，中心节点位于任意两个外围节点之间唯一的最短路径上，因此其介数中心性达到最大值，而所有外围节点的介数中心性均为零。[3]
由于介数中心性的取值与图的节点数量有关，通常需要做归一化以便在不同规模的网络之间比较。对于包含 $n$ 个节点的图，无向情形下归一化因子为 $2/((n-1)(n-2))$，有向情形下为 $1/((n-1)(n-2))$，归一化后的取值落在 0 到 1 之间。[4]
发展历程
中心性思想在社会科学中的出现可以追溯到 20 世纪 40 年代，但当时只有直观描述，没有严格的数学定义。介数这一概念在早期文献中已有雏形，例如 1971 年安东尼瑟(Anthonisse)在关于有向图的内部报告中使用了类似思路。[5]
1977 年，社会学家弗里曼(Linton C. Freeman)在《基于介数的中心性度量集合》一文中给出了介数中心性的第一个正式定义，并给出其最大可能取值与归一化方式，这一工作通常被视为该指标的奠基性成果。[1]
此后，介数中心性的计算一直受制于较高的复杂度。早期最快的方法需要 $\Theta(n^3)$ 量级的时间和 $\Theta(n^2)$ 量级的存储空间，只适用于规模较小的网络。2001 年，布兰德斯(Ulrik Brandes)提出了更高效的算法，使无权网络的运行时间降到 $O(nm)$、加权网络降到 $O(nm+n^2\log n)$，空间需求降到 $O(n+m)$，从而大幅扩展了可分析网络的规模。
在布兰德斯算法之后，研究者继续提出改进方案，例如先递归删除度为 1 的节点再运行算法，或借助图分解减少需要处理的规模。围绕介数中心性还发展出多种变体，包括适合空间网络的加权形式、考虑节点状态的渗流中心性，以及从节点推广到节点集合的团队介数中心性。[6]
应用
在社会网络分析中，介数中心性被用来识别处于不同群体之间、充当桥梁角色的成员。这类成员连接着原本彼此不相往来的群体，因此对群体间的信息流通具有较大影响。[7]
在网络运行与管理中，该指标常用于寻找关键节点。介数中心性高的节点一旦失效，网络有很大可能不再保持连通，因此它可作为评估网络脆弱性、确定重点保护或监测对象的依据。
在通信与交通领域，介数中心性可用于分析流量分布。通信网络中数值较高的节点承担更多转发任务，更容易成为拥塞点；在道路网络中，它有助于识别车流集中的路段和路口，为设施布局提供参考。[8]
在空间网络研究中，介数中心性被用于街道网络和城市间网络的分析，如预测交通流量、识别关键地点以及开展鲁棒性评估。针对空间网络边长为权重的特点，研究者还提出了把空间相互作用强度纳入权重的改进形式。[4]
局限
介数中心性的核心假设是信息只沿最短路径传递，且所有节点对之间的交流量相同。实际网络中，消息往往沿随机路径或被有意选择的非最短路径传输，不同节点对之间的往来强度也差别很大，这两条假设都会使计算结果与实际情形产生偏离。[4]
传统介数中心性只考虑网络拓扑，不考虑节点所在的空间位置和边的实际长度。在空间网络中，这一简化可能低估那些实际承载大流量、但经过的最短路径数量并不多的节点或边的重要性。[4]
计算成本也是其限制之一。求全部节点的介数中心性需要计算所有节点对之间的最短路径，即便采用布兰德斯算法，运行时间仍随网络规模增长较快，对于大规模现实网络仍显不足，这也推动了近似算法与更快速算法的发展。[6]
参见
参考资料
- Betweenness centrality [引用日期2026-10-14]
- direct-connection [引用日期2026-10-14]
- \[C_D(p_k) = \frac{i-1}{n-1}\] [引用日期2026-10-14]
- PLOS ONE [引用日期2026-10-14]
- Node Betweenness Centrality [引用日期2026-10-14]
- _article [引用日期2026-10-14]
- cambridge.org 上的网页 [引用日期2026-10-14]
- aps.61.248901(PDF) [引用日期2026-10-14]