BSD猜想

定义

设 E 是定义在有理数域 Q 上的椭圆曲线，其有理点全体 E(Q) 构成一个阿贝尔群，称为莫德尔-韦伊群。莫德尔在1922年证明该群有限生成，因而可以分解为整数格与有限挠子群之和，其中自由部分的生成元个数 r 称为曲线的秩；当 r 为零时曲线上只有有限个有理点，当 r 大于零时有无穷多个有理点。^[5] 另一方面，把曲线在素数模下解点的个数信息汇总起来，可以得到与该曲线对应的L函数 L(E,s)，BSD猜想所要建立的联系正发生在这两类对象之间。^[6]

猜想包含两部分。秩部分断言曲线的代数秩等于 L(E,s) 在 s=1 处零点重数，即 $r=\mathrm{ord}_{s=1}L(E,s)$；精细部分进一步给出该点首项系数的表达式 $\lim_{s\to 1}\frac{L(E,s)}{(s-1)^r}=\frac{\Omega_E\cdot \mathrm{Reg}(E)\cdot \prod_p c_p\cdot \#\mathrm{Ш}(E/\mathbb{Q})}{\#E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}^2}$，其中 Ω_E 是实周期，Reg(E) 是调节子，c_p 是各素数处的 Tamagawa 数，Ш 是泰特-沙法列维奇群，分母为挠子群阶的平方。^[2] 这个公式预设了 Ш 为有限群，而该群的有限性本身尚未获得普遍证明。^[7]

原理

对每个素数 p，记 N_p 为椭圆曲线在有限域上解点的个数，并令 a_p = p + 1 − N_p，把这些局部数据按欧拉乘积相乘，就得到 L(E,s) 的表达式 $L(E,s)=\prod_p (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s})^{-1}$。^[8] 这一乘积原本只在复平面右半部分收敛，能否延拓到 s=1 附近并不显然；模性定理证明有理数域上每条椭圆曲线都来自模形式，由此 L(E,s) 可解析延拓到整个复平面并满足函数方程，s=1 处的零点重数才获得确定含义。^[4]

猜想的直觉来自数值实验：如果一条曲线上存在许多有理点，把它们按素数约化后会产生大量模 p 的解，N_p 偏大而 a_p 偏小，从而影响欧拉乘积的整体性态。伯奇和斯温纳顿-戴尔据此推测，秩的大小恰好反映为 L(E,s) 在 s=1 处零点重数的大小，局部素数信息因此可以决定整体有理点结构。^[7]

函数方程把 L(E,s) 与 L(E,2−s) 联系起来，式中的根数 w 只能取 1 或 −1，并且等于（−1）的解析秩次幂。由此得到奇偶性猜想：根数决定曲线秩的奇偶性，它是BSD猜想的一个直接推论，后来由 Nekovář 以及 Dokchitser 兄弟等人的工作给出证明。^[7][4]

发展历程

20世纪60年代初，剑桥大学的彼得·斯温纳顿-戴尔利用该校计算机实验室的 EDSAC-2 计算机，对大量椭圆曲线计算了许多素数处的点个数，并与布莱恩·伯奇一起分析这些数值呈现的规律。^[4] 1965年，两人在《Journal für die reine und angewandte Mathematik》上发表论文，正式提出这一猜想；把曲线模素数的局部计数与整体有理点群相联系的思路，来自当时机器计算得到的具体数据。^[6][1]

由于早期证据较为薄弱，这一猜想最初曾受到怀疑。^[4] 1977年，Coates 与 Wiles 对具有复乘的椭圆曲线证明，若 L(E,1) 不为零，则该曲线上的有理点群有限，这是猜想最早的重要特例。^[9] 1986年，Gross 与 Zagier 建立格罗斯-扎吉尔公式，把 L 函数在 s=1 的一阶导数与 Heegner 点的内龙-泰特高度联系起来。^[4]

1989年前后，Kolyvagin 用欧拉系方法证明，当解析秩为零或一时，曲线的代数秩与之相等，并且相应的泰特-沙法列维奇群有限。^[7] 2001年，Breuil、Conrad、Diamond 与 Taylor 证明有理数域上的椭圆曲线都是模的，使上述结果可以适用于有理数域上的所有椭圆曲线，同时也确保了 L 函数在 s=1 处有定义。^[4]

2000年5月24日，克雷数学研究所在法兰西学院公布七个千禧年大奖难题，BSD猜想名列其中，每个问题的首个正确解答可获得100万美元奖金。按照评奖规则，解答成果须先公开发表，并在两年内经数学界广泛接受。^[3][10]

2015年，Bhargava 与 Shankar 证明有理数域上椭圆曲线莫德尔-韦伊群的平均秩不超过 7/6，由此推出正比例的曲线解析秩为零，因而满足BSD猜想。^[4] 2014年，Bhargava、Skinner 与 Zhang 证明超过三分之二的椭圆曲线满足该猜想。^[10]

中国数学家在这一问题上也有系统工作。田野于2012年构造出无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数，并对相应的同余椭圆曲线验证了BSD猜想，成果发表于《美国科学院院刊》和《剑桥数学杂志》，他因此获得2020年度国家自然科学奖二等奖。^[11] 万昕与 Jetchev、Skinner 证明了解析秩为1时的BSD公式和椭圆曲线的 Iwasawa 主猜想；在正规约化情形下，张伟与 Skinner 证明了相应的 p-逆定理，田野则解决了带复乘的情形。^[12][13]

应用

BSD猜想最直接的应用对象是同余数问题。正整数 n 是同余数，当且仅当椭圆曲线 y² = x³ − n²x 的秩大于零，也就是其L函数在 s=1 处取零。^[14] Tunnell 在1983年给出一个可用有限个二次型表示整数的解数来检验的判据，其反向命题无条件成立，但判别同余数的充分性依赖BSD猜想。^[15] 若该猜想的弱形式成立，则所有模8余5、6、7的正整数都是同余数。^[11]

在数值方面，BSD公式涉及的周期、调节子、Tamagawa 数与挠子群阶等量可以在 L 函数与模形式数据库中计算，用于逐条曲线检验猜想。^[2] 有研究者曾对32条亏格2的模超椭圆曲线的雅可比簇进行数值验证，其后又将验证范围扩展到亏格3、4、5的曲线。^[16]

猜想还可以与解析方法配合使用。在广义黎曼假设与BSD猜想同时成立的条件下，形如 y² = x³ + ax + b 的椭圆曲线的平均秩小于 2；这类推理把L函数族的零点阶数估计转化为关于曲线族秩的信息。^[4]

局限

至今为止，猜想的秩部分只在解析秩不超过1的情形得到证明，对于秩大于1的曲线尚无任何已证结果，其正确性只有大量数值计算作为支持。^[4]

精细公式所依赖的前提也未完全解决。泰特-沙法列维奇群是否恒为有限群仍属未知，而猜想提出之时，连公式两端是否在 s=1 处有定义都成问题。Tate 在1974年曾指出，这一猜想把在一个当时尚不知是否有定义的函数值与一个尚不知是否有限的群阶联系了起来。^[7]

猜想即使成立，也未必立刻给出计算秩的可行办法。目前不知道是否存在一个保证终止并能给出正确答案的算法来判定任意椭圆曲线的秩，也不知道有理数域上椭圆曲线的秩是否存在上界；已知秩最高的例子来自 Elkies，其秩至少为 28。^[17] 精细公式中的调节子等不变量本身计算困难，早期的数值验证在实周期计算上曾出现不精确之处，后来才得到修正；猜想向一般阿贝尔簇与更高亏格曲线的推广同样缺乏证明。^[16]

参见

• 椭圆曲线 —— 本猜想研究的数学对象，其有理点群与L函数的性态是猜想的两个主角。

• L函数 —— 猜想用它在中心点 s=1 处的零点阶数刻画椭圆曲线的秩。

• 莫德尔-韦伊群 —— 其自由部分的生成元个数就是猜想所指的代数秩。

• 泰特-沙法列维奇群 —— 精细BSD公式中出现的算术不变量，其阶被猜想为有限。

• 同余数 —— 与BSD猜想密切相关的经典数论问题，其判定可归结为椭圆曲线的秩。

• 克雷数学研究所 —— 2000年将该猜想列入七个千禧年大奖难题的机构。