费马引理

定义

费马引理通常表述为：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，并在 $x_0$ 处可导；若该邻域内的一切 $x$ 都满足 $f(x) \le f(x_0)$，或者都满足 $f(x) \ge f(x_0)$，则 $f'(x_0) = 0$。^[1][2]

换一种说法，只要函数在极值点处可导，这个点就必然是导数取零的点。^[2][3] 函数导数的零点称为驻点，也叫临界点或稳定点，于是该定理可以简述为：可导的极值点必是驻点，而驻点未必是极值点。^[2][3][4]

原理

定理的证明从导数的定义出发。^[5] 设 $f$ 在 $x_0$ 处取得极大值，则邻域内各点的函数值都不超过 $f(x_0)$，于是差商 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 在增量取正值时不大于零，在增量取负值时不小于零。让增量分别从右侧和左侧趋于零，由极限的保号性可知 $f'(x_0) \le 0$ 与 $f'(x_0) \ge 0$ 同时成立，因此只能有 $f'(x_0)=0$。^[3][1]

也可以从反面来理解：若 $f'(x_0)>0$，则在 $x_0$ 右侧函数值更大、左侧更小，$x_0$ 不可能是极值点；若 $f'(x_0)<0$，同样会导出矛盾。^[6][7]

在几何上，这一结论表示曲线在可导的极值点处有水平切线，即切线平行于横轴。^[2][6] 它在物理上也有直接的对应：竖直上抛的物体到达最高点时，瞬时速度为零。^[6]

整个推理可以概括为下面的流程：

flowchart TD

A["函数 f 在 x0 处可导"] --> B{"x0 是 f 的极值点"}

B -->|是| C["差商在 x0 两侧异号"]

C --> D["f'(x0) = 0"]

发展历程

费马是 17 世纪的法国数学家，1601 年出生在博蒙·德洛马涅，1665 年在卡斯特尔去世。^[8] 他的正式职业是图卢兹地方议会的法律官员，数学研究只属于业余爱好，因此常被后人称作「业余数学家之王」。^[9][10]

大约在 1636 年，费马写出《求极大值与极小值的方法》一文，该文在法国数学家中传阅，其中给出了已知最早的一种求极值的通用方法。^[11][12] 他使用一种译为「近似相等」(adequality) 的运算：给未知量加上一个增量，把原式与改动后的式子作比较，消去公共项、约去增量，再舍去仍然含有增量的项，最后由剩下的等式定出极值所在的位置。^[12][11]

这套做法当时引来批评，勒内·笛卡儿等人质疑它先除以增量、后又丢弃增量项的做法是否站得住脚。^[11][12] 费马本人并未给出严格证明，只是确认该方法在许多问题上都能得到正确结果。^[11]

后来艾萨克·牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立微积分，极限与导数的概念逐渐明确，上述结论被整理为「可导极值点导数为零」的命题，并以费马的名字命名。^[10][13] 它随后成为罗尔定理证明中的关键一步，也是组织微分中值定理体系的起点。^[3][13]

应用

费马引理把求可导函数极值的问题转化成解方程 $f'(x)=0$ 的问题，这是微积分中求极值的常规步骤。^[14][13]

求连续函数在闭区间上的最大值与最小值时，只需比较三类点的函数值：区间端点、导数不存在的点，以及导数等于零的驻点。^[6][13]

在微分中值定理体系中，罗尔定理和微分中值定理的证明都要借助这一结论：先由连续函数的最值定理找到区间内部的最值点，再用引理说明该点处导数为零。^[3][6]

判断一个驻点是不是极值点，可以考察它两侧导数的符号；在二阶导数存在且不为零时，也可以看它的正负：二阶导数为正对应极小值，为负对应极大值。^[14][15]

常见的应用题包括：周长固定时，矩形面积在取正方形时达到最大；用同样面积的板材制作有盖圆桶时，容积最大处的高与底面直径相等。^[6]

局限

费马引理给出的只是极值点的必要条件，而非充分条件。^[14][5] 导数为零的点未必是极值点，例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为零，但函数在该点两侧都递增，$x=0$ 不是极值点，而属于拐点。^[14][6]

定理的使用前提是函数在该点可导，因此它无法处理不可导的极值点。绝对值函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处取到极小值，却在该点不可导，引理在此不适用。^[1][4]

引理针对的是定义域的内部点，对区间的端点并不适用，函数的最大值或最小值有可能就在端点处取得。^[13][4]

此外，仅凭 $f'(x_0)=0$ 无法判断极值的类型，需要作进一步分析；若导数在该点为零而二阶导数也为零，二阶导数判别法失效，只能改用更高阶导数或列表讨论。^[14][15]

参见

• 罗尔定理 —— 以费马引理为关键步骤证明的微分中值定理。

• 拉格朗日中值定理 —— 由罗尔定理推广得到，把函数增量与导数联系起来。

• 导数 —— 刻画函数瞬时变化率的工具，费马引理以它为零来刻画极值点。

• 驻点 —— 导数为零的点，可导的极值点必定属于此类。

• 拐点 —— 曲线凹凸性改变的点，一部分驻点属于此类而非极值点。

• 皮埃尔·德·费马 —— 该引理的命名者，17 世纪法国数学家。