采样定理是通信与信号处理学科中的基本定理，它给出了用离散采样点无失真表示连续带限信号所需的采样频率下限。定理指出，若连续信号的最高频率不超过 W，则当采样频率不低于 2W（即奈奎斯特频率的两倍）时，采样点可以完整保留原信号的全部信息，并可由这些样本完全重建原信号；若采样频率不足，高于奈奎斯特频率的分量会发生混叠，导致重建信号失真。它是模拟信号数字化的理论依据，广泛应用于数字通信、信息处理与采样控制等领域。
定义
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据，也称抽样定理、取样定理[1]。它针对的是带限信号，即不存在高于某一最高频率分量的信号[2]。在一个连续信号最高频率不超过 W 赫兹的前提下，若以每秒不低于 2W 次的速率对它均匀采样，则原信号可以被这些采样值完全确定；这一最低采样速率称为奈奎斯特速率[2]。
采样定理最常见的表述有两种，即时域采样定理和频域采样定理[1]。工程文献中通常把它称为香农采样定理，在苏联文献中则称为科捷利尼科夫采样定理，在数学与工程文献中有时也以惠特克、科捷利尼科夫、香农三人的姓氏合称为 WKS 采样定理[2]。
原理
采样是把一个在时间或空间上连续的函数转换成数值序列的过程[1]。其数学描述可以理解为：将连续信号 $x(t)$ 与一个等间隔的冲激串相乘，得到采样序列 $x(nT_s)$，其中 $T_s$ 为采样间隔[3]。
在频域中，时域的相乘对应频域的卷积，因此采样后信号的频谱是原信号频谱以采样频率 $f_s$ 为周期重复叠加的结果[3]。若 $f_s$ 大于 2W，这些重复的频谱之间不会发生重叠，用一个理想低通滤波器即可滤出原来的基带频谱；再用低通滤波（时域上等效于与 $\mathrm{sinc}$ 函数卷积）就能插值恢复出连续信号[4]。反之，若 $f_s$ 小于 2W，相邻频谱副本会相互重叠，这种重叠即为混叠[3]。
需要说明的是，绝对带限的波形不可能同时是绝对时限的，反之亦然；实际测量只能在有限时间内进行，因此严格意义上的有限带宽无法实现，工程上通常把谱分量可忽略的信号近似视为带限信号，再据此选择采样率[2]。
发展历程
20 世纪上半叶有多项工作研究了采样速率与信号失真之间的关系[5]。1928 年，美国电信工程师哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在研究电报传输时首先指出了这一速率的重要性，定理因此得名奈奎斯特采样定理[2]。
1933 年，苏联工程师科捷利尼科夫（V. A. Kotelnikov）首次用公式严格表述了这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理[1]。1948 年至 1949 年前后，信息论创始人克劳德·香农（Claude Shannon）对该定理作出明确说明并将其与信息论联系起来，正式作为定理引用，此后在许多文献中又称香农采样定理[6]。
数学上，惠特克（E. T. Whittaker）在 1915 年已提出与之相关的级数，这类级数被称为基本级数或基数级数[6]。此后，采样定理被推广到二维采样和更一般的平移不变空间，并有学者对其历史作了系统梳理[7]。
应用
采样定理是模拟信号数字化的理论依据，在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到应用[1]。以话音信号为例，其最高频率约为 3400 赫兹，满足定理的最低采样频率为 6800 赫兹，为留出滤波器防卫带，相关标准规定话音信号的采样率为 8000 赫兹[1]。
在数字音频中，高品质音乐信号被认为最高频率为 22.05 千赫，其采样率至少需达到 44.1 千赫，这也是常见音频采样率取值的由来[7]。在工程实践中，采样前通常先设置一个低通滤波器把模拟信号的带宽限制在最高频率以下，以抑制混叠，这类滤波器称为抗混叠滤波器，是实际采样系统的标准组成部分[8]。
采样定理的思想还延伸到其他领域。例如在视觉研究中，视网膜感光细胞的排列可视为一种空间采样阵列，高于奈奎斯特极限的空间频率会被人眼误判为较低频率的伪信号，而对二维采样阵则存在相应的二维采样定理[6]。
局限
采样定理给出的条件基于理想假设，实际系统难以完全满足。定理要求信号严格带限，而有限时长的信号在频谱上必然是无限宽的，因此真实信号只能按“有效带宽”近似处理[2]。重建过程所需的理想低通滤波器和 $\mathrm{sinc}$ 插值函数在物理上不可实现，因为它们需要无限长的数据和非因果的响应，实际只能以近似方式逼近[2]。
当采样率低于奈奎斯特速率时会发生混叠，高于奈奎斯特频率的分量被搬移到基带并伪装成低频成分，重建信号与原信号产生差异，且这种失真无法在采样后通过单纯滤波恢复[3]。混淆的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关，因此采样前必须依靠抗混叠滤波器把超限分量抑制到足够低的水平[1]。
采样率也并非越高越好：采样率升高会带来更高的数据传输速率，占用更宽的信号带宽，从而降低信道利用率，因此工程上通常在满足定理并留有一定防卫带的前提下选择采样率[1]。此外，采样率的选择还受传感器延迟和计算时间等实际条件的约束[2]。在不满足采样率条件时，若已知信号的其他约束，仍可能实现完全或近似重建，这构成了压缩感知等研究方向的基础[9]。
参见
参考资料
- [科普中国]-抽样定理 - 版权归原作者所有，如有侵权，请联系我们 . kepuchina.cn [引用日期2026-10-02]
- Sampling Theorem - Chapters and Articles . sciencedirect.com [引用日期2026-10-02]
- Sampling Interval - URL: https://www . sciencedirect.com [引用日期2026-10-02]
- Sampling Theorem . stanford.edu [引用日期2026-10-02]
- CERN-THESIS-2020-357(PDF) . cern.ch [引用日期2026-10-02]
- Shannon Sampling Theorem - Chapters and Articles . sciencedirect.com [引用日期2026-10-02]
- Nyquist Frequency - xˆp(ω) be the 2πσ-periodization of xˆ(ω) . sciencedirect.com [引用日期2026-10-02]
- Signal sampling | IEEE Technology Navigator . ieee.org [引用日期2026-10-02]
- Nyquist–Shannon sampling theorem - Skip to main content . epfl.ch [引用日期2026-10-02]
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