有限差分法

定义

有限差分法用差商代替微商。设一元函数 $u(x)$ 在网格点处取步长 $h$，一阶导数可近似为向前差商 $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}$、向后差商 $\frac{u(x)-u(x-h)}{h}$，或中心差商 $\frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}$。二阶导数则常用中心差商 $\frac{u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^2}$ 来近似^[5]。

以差分算子替代微分算子会引入截断误差，借助泰勒级数展开可以估计其量级：向前差商与向后差商为 $O(h)$，属一阶精度；中心差商为 $O(h^2)$，属二阶精度^[5]。被求函数越光滑、网格越密，可用差分近似的精度通常也越高^[6]。

背景

差分近似导数的做法早于电子计算机的出现。一维空间中的有限差分近似在18世纪已由欧拉使用，约1908年前后龙格把它推广到二维情形^[6]。另有文献记载，该方法在20世纪20年代由 A. Thom 以「方格法」之名提出，用于求解非线性流体力学方程^[7]。1922年，理查孙首次把差商方法用于天气预报^[8]。

1928年，柯朗、弗里德里希斯和卢伊用有限差分方法讨论椭圆型方程的狄利克雷问题，这项研究被视为该领域后续发展的重要基础；1930年，格什戈林分析了椭圆型方程差分方法的误差^[9]。20 世纪 50 年代，电子计算机的出现推动了有限差分技术在科学与工程计算中的应用，关于差分格式精度、稳定性和收敛性的理论成果也在此后数十年间逐步建立^[6]。1959年前后，拉克斯与里希特迈尔研究了差分格式稳定性与收敛性之间的关系^[9]。

内容

用有限差分法求解定解问题通常包含若干环节：先把求解区域划分为网格，再选用适当的差分格式，把方程中的各阶导数换成差商，并结合初始条件与边界条件建立差分方程组，然后求解该代数方程组，最后进行误差分析^[5]。

按时间推进方式，差分格式分为显式与隐式两类。以热传导方程为例，显式格式由已知时刻的数值直接算出下一时刻的数值，每步计算量小，但只在条件 $\alpha\Delta t/(\Delta x)^2 \le 1/2$ 满足时才稳定；隐式格式每一步都需要求解线性方程组，通常无条件稳定，代价是计算量更大^[4]。两者的取舍反映了计算量与稳定性约束之间的折中^[4]。

对差分格式的评价涉及相容性、稳定性和收敛性三个方面。相容性指网格不断加密时差分格式趋近于原来的微分方程；稳定性指计算过程中的误差积累保持有界；收敛性指步长趋于零时差分解趋向原问题的解^[1][10]。对于适定的线性初值问题，拉克斯等价定理指出，相容的差分格式其稳定性与收敛性是等价的，且收敛阶不低于相容阶^[10]。分析稳定性时常用的工具是冯·诺伊曼稳定性分析，它把误差分解为不同波数的波，要求放大因子的模不超过 1^[11]。

影响与争议

有限差分法被视为求解偏微分方程最古老也最直接的途径之一，也是计算流体力学中应用最早、最经典的离散化方法^[12][3]。它原理直观、便于编程，容易推广到二维和三维问题^[12]。除流体力学外，其应用还涉及传热与传质、半导体器件模拟、天体物理以及金融衍生品定价等^[4][11]。

在金融工程中，描述期权价格的布莱克-斯科尔斯方程属于二阶抛物型方程，常借助有限差分法求解。1947年提出的 Crank-Nicolson 格式兼有无条件稳定和二阶精度的特点，1982年前后被引入期权定价计算^[13]。

该方法也有明显局限。由于依赖规则网格，它在处理复杂几何区域和复杂边界条件时不如有限元法灵活，对材料不连续以及边界层附近的问题也不易适应^[2][12]。普通差分格式不保证守恒性，在非均匀网格上可能人为地产生源或汇，因此强调通量守恒的有限体积法在不少工程问题中更受青睐^[4]。低阶格式在网格较粗时精度偏低^[14]，这些不足推动了有限元法、有限体积法等方法的形成与发展^[12]。

参见

• 有限元法 —— 另一种偏微分方程离散化方法，不依赖规则网格，便于处理复杂几何与边界。

• 有限体积法 —— 以控制体上的守恒律为基础，更强调通量守恒。

• 偏微分方程 —— 有限差分法主要求解的对象。

• 泰勒级数 —— 推导差分格式并估计截断误差的主要工具。

• 热传导方程 —— 常用来演示显式与隐式差分格式的典型抛物型方程。

• 计算流体力学 —— 有限差分法应用最早、最广泛的计算领域之一。