数值方法(Numerical Methods)是研究用计算机求数学问题近似解的算法及其理论的学科，又称数值分析、计算方法。[1][2] 它既要给出近似答案，也要说明答案与真值相差多少、迭代能否收敛、算法对扰动是否敏感，以及在有限的时间内能否算完。[1][3] 由于许多科学与工程问题的解析解难以求得，数值方法成为科学计算的基础，用于天气预报、汽车碰撞模拟、航班调度等场合。[1]
定义
数值方法以连续数学中的问题为对象，研究解决这类问题所需算法的设计、分析与实现。[4][3] 有工具书把这一领域称为数值分析，看作数学的应用基础性研究分支，并把它列为计算数学的核心部分，也称数值计算方法。[2] 数值方法、数值分析、计算方法等名称在不同教材中并用，含义大体相当。[1]
严格地说，数值方法要回答的是：给定一个数学问题和精度要求 $\varepsilon>0$，怎样用有限步四则运算与逻辑运算得到近似解 $\hat{x}$，使它同真解 $x$ 的偏离满足 $|x-\hat{x}|\le\varepsilon$，并给出误差的上界。[5][1] 例如用牛顿迭代求 $\sqrt{7}$，可以通过分析证明迭代到第 $n$ 步时近似值与真值之间的距离落在某个区间内，由此判断结果有几位小数是可信的。[6]
背景
不少数学问题没有解析解，或者解析表达式过于复杂而无法直接用于计算，例如方程 $e^{-x}=\cos x$ 就难以求得精确解；还有一些数值即便能写出精确形式，在具体场合也没有实际用处。[7] 电子计算机出现之前，这类计算只能靠手算、计算尺和台式计算机进行，工作量成为实际应用的主要障碍。[8]
数值算法的历史相当久远。约公元前 1800 年至前 1600 年的古巴比伦泥板上记录了 $\sqrt{2}$ 的近似值 1.41421296，大约公元前 1650 年的古埃及数学文献中已有求方程根的步骤。[7][9] 古希腊的海伦在公元 1 世纪前后给出了计算 $\sqrt{2}$ 的迭代方法。[6] 微积分建立之后，牛顿、欧拉、高斯等人在处理天文、测量与物理问题时提出了均差插值、最小二乘、数值积分等做法，其中不少至今仍在使用。[10]
方法的产生往往有具体的应用背景：大地测量学的需要促成了求解线性方程组的消元法，天体力学推动了亚当斯一类多步方法的出现，空气动力学则与龙格-库塔方法的发展相关。[8] 1928 年，库朗、弗里德里希斯与卢伊证明了若干典型方程差分格式的收敛性，为后来的理论分析奠定了基础。[11]
内容
数值方法处理的问题范围很广。线性代数方面包括线性方程组的求解、最小二乘问题和矩阵特征值、奇异值的计算；当问题规模很大时，直接解法往往不适用，人们转而使用迭代方法，共轭梯度法及其各种变体是其中常见的一类。[12] 非线性方程 $f(x)=0$ 的求根则常用二分法、牛顿-拉夫森法和割线法，被求解的函数若是多项式，还可以使用更专门的算法，包括求复根的办法。[6]
另一条主线是函数的逼近，即用多项式、三角多项式、样条、小波等较简单的函数去近似给定的函数；插值要求逼近函数在若干给定点上与数据一致，最佳逼近则要求在指定的函数类中使误差尽可能小。[12] 逼近论又派生出数值积分与数值微分。[1] 微分方程的数值解法分为常微分方程与偏微分方程两部分，前者常用欧拉法、亚当斯法和龙格-库塔法，后者多用有限差分、有限元方法和谱方法。[10][13]
围绕这些算法形成了一套评价标准。误差可以来自模型的简化、观测数据本身的偏差，也可以来自计算过程中的截断与舍入；算法还须满足收敛性与稳定性要求，即步长缩小或迭代次数增加时近似解趋于真解，同时输入和中间结果的小扰动不会被显著放大。[1][5] 此外还要考虑问题的条件数、所需的计算时间和存储量，并用数值试验检验方法是否真正可行。[5][14]
影响与争议
20 世纪 40 年代是这门学科的分水岭：大批数学家因战争需要投入计算研究，电子数字计算机的出现又使复杂模型的大规模数值求解成为可能。[8] 1947 年，冯·诺依曼与戈尔德施泰因发表关于高阶矩阵数值求逆的论文，讨论了舍入误差与条件数，被认为开启了现代计算数学的研究。[4] 此后浮点运算、蒙特卡罗方法、单纯形法、快速傅里叶变换、准牛顿法、小波等相继发展起来。[15]
有限精度算术带来的困难也一直是讨论的焦点。1985 年的一篇综述指出，浮点数的精度与表示范围都有限，算法是否可靠在很大程度上取决于对这两点的处理，数值稳定性与条件数因此被列为算法设计的核心问题。[16] 对病态问题的分析显示，输入数据的微小扰动或消元过程中出现过小的主元，都可能使计算结果严重偏离真值，选取主元与采用正交变换等做法正是为抑制这类误差放大而引入的。[14][17]
在中国，这一方向是作为独立的学科建制发展起来的。1955 年制定科学技术发展规划时把计算技术列为重点之一，1956 年设立计算技术研究所筹备处，由华罗庚主持，1958 年研究所正式成立，北京大学、吉林大学、复旦大学、南京大学等高校随后陆续开设计算数学专业。[18][5] 1997 年，丘成桐在清华大学的一次报告中，把有限元计算方面的工作列为中国近代数学具有国际影响的三项成果之一，做出这项工作的学者是冯康。[5]
参见
参考资料
- 第 章 科学计算简介 . hxedu.com.cn [引用日期2026-09-27]
- 领导干部和公务员科学素质读本丨数学与国家战略实施密切相关吗 . kxsz.org.cn [引用日期2026-09-27]
- CAM 453 · NUMERICAL ANALYSIS I . rice.edu [引用日期2026-09-27]
- 数值分析是什么 . ecnu.edu.cn [引用日期2026-09-27]
- 数值分析 . nju.edu.cn [引用日期2026-09-27]
- Analisi numerica - Salta al contenuto . treccani.it [引用日期2026-09-27]
- Math 715 Applied Mathematics 1 . ksu.edu [引用日期2026-09-27]
- Outline . siam.org [引用日期2026-09-27]
- pressbooks.pub 上的网页 . pressbooks.pub [引用日期2026-09-27]
- SOME MAJOR DEVELOPMENTS IN SCIENTIFIC COMPUTING . ox.ac.uk [引用日期2026-09-27]
- 计算数学是数学科学的一个分支，研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题 . 211.146 [引用日期2026-09-27]
- Numerical Analysis . cam.ac.uk [引用日期2026-09-27]
- Gustafsson, Bertil Scientific computing . zbmath.org [引用日期2026-09-27]
- skript(PDF) . uni-muenster.de [引用日期2026-09-27]
- Nick TrefethenOxford Computing Lab . pku.edu.cn [引用日期2026-09-27]
- **Laub, Alan J . zbmath.org [引用日期2026-09-27]
- AERE_TP322(PDF) . stfc.ac.uk [引用日期2026-09-27]
- 中国计算数学五十年 . ecnu.edu.cn [引用日期2026-09-27]
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最近更新：2026-09-27T15:13:33Z
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