有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是求解偏微分方程的一类数值离散方法。它从守恒律的积分形式出发，把求解区域划分为有限个互不重叠的控制体积，在每个控制体积上对控制方程作积分，并利用高斯散度定理把体积分化为界面上的通量，从而得到以单元平均量为未知数的代数方程组 [1][2]。由于相邻控制体积公共界面上的通量大小相等、方向相反，离散方程在局部和整体上都保持守恒，这一特点使它成为计算流体力学中应用最广的方法之一 [3][4]。
定义
有限体积法离散的对象是守恒律及其守恒形式的偏微分方程。以标量输运方程为例，其守恒形式可写作 $\frac{\partial \rho\phi}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\phi)=\nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi)+S$，式中 $\phi$ 为待求的标量，$\rho$ 为密度，$\mathbf{u}$ 为速度，$\Gamma$ 为扩散系数，$S$ 为源项 [4][5]。
把求解域划分成有限个互不重叠的控制体积之后，在每个控制体积 $V$ 上对上述方程积分，并借助高斯散度定理把散度项化为沿边界 $A$ 的面积分，即可得到积分形式的守恒关系 $\frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\phi\,dV+\oint_A \mathbf{n}\cdot(\rho\mathbf{u}\phi)\,dA=\oint_A\mathbf{n}\cdot(\Gamma\nabla\phi)\,dA+\int_V S\,dV$ [2][4]。离散后的未知量是控制体积上的平均量，而不是网格节点上的点值，这是它与有限差分法在出发点上的差别 [2]。
背景
在有限体积法得到广泛应用之前，偏微分方程的数值求解主要依靠有限差分法和有限元法 [6]。有限差分法着眼于网格节点上的函数值，格式灵活、收敛性与稳定性分析较为完善，但对节点分布要求较规则，难以适应复杂的几何区域，也不易处理只存在弱解的问题 [6]。有限元法建立在弱解形式与变分原理之上，网格适应能力强，但往往需要处理大型线性方程组，在大变形和间断问题上的求解也较为困难 [6][7]。
当守恒律的解出现激波等间断时，其微分形式与积分形式不再等价，积分形式才是更基本的表述 [1]。有限体积法直接在物理空间的控制体积上离散积分型守恒律，既吸收了有限差分法的灵活性，又具备有限元法处理复杂区域时的网格适应能力 [6][1]。
内容
有限体积法的实施通常包含若干步骤：先生成网格并据此确定控制体积，网格既可以是结构网格，也可以是非结构网格；再在每个控制体积上对控制方程积分；随后用中点法则等数值积分近似面积分与体积分，并由相邻单元中心的变量值插值得到界面值；最后形成代数方程组并求解 [5][8][4]。
界面通量的计算方式决定了格式的精度与稳定性。扩散项一般用中心差分近似，对流项则多采用迎风格式以抑制非物理振荡 [9]。对于非线性双曲型守恒律，界面通量可由近似黎曼问题求解器给出，Godunov 格式是这类方法的起点，Roe、HLL 等求解器随后被广泛采用 [1][9]。为在光滑区域获得高精度、在间断附近抑制振荡，又发展出 ENO 等高分辨率重构技术 [1]。
守恒性是有限体积法最突出的性质：同一界面上的通量对两侧控制体积大小相等、方向相反，求和后内部界面的贡献相互抵消，因此离散方程既在单个控制体积内守恒，也在整个求解域内守恒 [3][10]。它无需坐标变换即可用于任意多面体或非结构网格，便于处理复杂几何边界 [3][7]。时间方向可选用显式或隐式推进；对不可压缩流动，压力与速度的耦合常用 SIMPLE、PISO 等迭代算法处理 [9]。
影响与争议
这一方法的思想在 20 世纪 60 年代中后期由伦敦帝国理工学院的研究组提出 [11][12]。该组起初借用流体依次流经若干水箱、水箱之间由管道相连的类比来描述通量交换；Runchal 于 1969 年直接对控制体积积分守恒方程导出离散方程，并由此得到通用的二维计算程序 [11]。Patankar 与 Spalding 在 1971 年首次描述了这一方法，Patankar 又在 1980 年的著作中对其作了系统整理 [13][12]。
此后有限体积法在计算流体力学中逐渐占据主导地位，多数商用与开源 CFD 软件都以它作为离散核心，例如 OpenFOAM、ANSYS Fluent、STAR-CD 等 [12][9]。它的应用还扩展到天气预报、海洋与气候模拟、燃烧、传热等由守恒律支配的问题 [10][6]。
关于这一方法的定位存在不同看法。有研究通过比较对流扩散方程的离散格式指出，当有限元形函数取常数时，有限体积格式可以视为有限元格式的一个特例，因而有限元格式同样具有守恒性 [7]。另一方面，单元中心格式假定变量在控制体内为常数，界面通量需经插值处理，精度因此受到制约，这推动了高阶、高分辨率格式的发展 [7][1]。如何在间断附近兼顾高精度与无振荡，仍是持续的研究方向 [1]。
参见
参考资料
- 第31卷 第2期 力 学 进 展 Vol.31 No.2 . cstam.org.cn [引用日期2026-09-27]
- 1 Goal . harvard.edu [引用日期2026-09-27]
- MIT2_29F11_lect_18(PDF) . mit.edu [引用日期2026-09-27]
- 有限体积法基本概念 . mingjianli.com [引用日期2026-09-27]
- Computational Aerodynamics(PDF) . mrcet.com [引用日期2026-09-27]
- 间断解问题的有限体积法 . xml-journal.net [引用日期2026-09-27]
- 二维扩散输移问题的一种新的有限体积算法 . nhri.cn [引用日期2026-09-27]
- Full Thesis(PDF) . ac.bd [引用日期2026-09-27]
- FVM — CAE术语 — CAE术语表 | NovaSolver . novasolver.jp [引用日期2026-09-27]
- Introducción al Método de Volúmenes Finitos | KipuHub . kipuhub.com [引用日期2026-09-27]
- Proceedings of CHT-17 . begellhouse.com [引用日期2026-09-27]
- D11805(PDF) . univ-medea.dz [引用日期2026-09-27]
- III.2.1.2. Eléments finis . univ-tiaret.dz [引用日期2026-09-27]
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最近更新：2026-09-27T14:19:20Z
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