计算流体力学

定义

计算流体力学可表述为：利用计算机技术和离散化的数值方法求解流体力学问题、得到流场控制方程的离散结果，并据此分析相关物理现象的科学^[4]。它求解的对象通常是质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程，其中动量方程即纳维-斯托克斯方程；流动包含多组分混合或化学反应时还需满足组分守恒方程，处于湍流状态时还要附加湍流输运方程^[2][5]。这些方程可归并为通用形式 $\frac{\partial(\rho\phi)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\phi)=\nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi)+S$，式中 $\phi$ 为通用变量^[6]。

该学科属于交叉领域，涉及流体力学、偏微分方程的数学理论、数值计算方法以及计算机科学^[5]。从数学角度看，其困难在于控制方程是非线性的，能够求得解析解或摄动解的实际流动极少，数值求解因此成为处理复杂流动的主要途径^[5][2]。

背景

在计算流体力学形成之前，研究流体运动主要依靠理论分析和实验测量两条途径。理论方法只在极少数简单情形下能得到解析解，实验方法则依赖风洞等大型设备，试验周期长、耗费大^[2][7]。20世纪初，英国科学家里查森（L. F. Richardson）尝试用手工计算求解偏微分方程来预报天气，这被视为计算流体力学最早的实践^[8]。1933年，汤姆（A. Thom）直接对纳维-斯托克斯方程作差分离散并迭代求解，获得了低雷诺数下圆柱绕流的数值结果，与实验观察到的流动相符^[9][10]。1953年，川口（Kawaguti）借助机械式计算器求得同类问题的解，印证了此前数值结果的可靠性^[11]。

20世纪50年代以后，电子计算机的出现与性能提升使大规模数值计算成为可能，军事与航空航天需求（如爆炸激波、高超声速绕流）最先推动了相关方法的发展^[12]。20世纪60年代，美国洛斯阿拉莫斯实验室发展出一批沿用至今的数值方法和湍流模型；70年代，伦敦帝国理工学院提出了SIMPLE算法，并把k-ε湍流模型完善为后来通用的形式^[13]。此后，计算流体力学逐步由个别课题专用的计算程序，发展为工程设计与优化中的常规工具^[12][1]。

内容

一次完整的计算通常包含前处理、求解和后处理三个环节：前处理建立几何模型并划分网格，求解器依据控制方程和离散算法完成流场计算，后处理把速度场、温度场等结果转化为可视图像。网格生成是关键步骤，其做法是把连续的计算区域剖分为许多互不重叠的子区域，确定节点位置及节点所代表的控制体积；网格既有结构化网格，也有非结构化网格，还可以根据流动参数的变化作自适应调整^[5]。网格生成技术已发展为计算流体力学的一个重要分支，其水平直接关系到计算问题的成败^[5]。

按照离散原理的不同，数值方法大体分为有限差分法、有限元法和有限体积法三类^[2][3]。有限差分法应用最早，把求解区域划分为差分网格，用网格节点上的值代替连续分布的物理量，再借助泰勒级数展开把导数化为差商，适用于规则网格和较简单的区域^[3]。有限元法在变分原理基础上对区域作积分逼近，便于处理复杂几何，但求解速度相对较慢^[3]。有限体积法把计算区域划分为一系列控制体积，对控制方程逐个积分得到离散方程，所导出的方程具有守恒性质、物理意义明确且计算量较小，是工程计算中最常用的方法^[3][1]。此外，谱方法、格子玻尔兹曼方法等也在特定问题中得到应用。

湍流的数值模拟是其中最困难也最重要的部分。常见策略分为三类：雷诺平均方法把流动变量分解为时间平均值与脉动量，只求解平均量方程，计算代价最低，在工程中应用最广；大涡模拟以较细网格直接计算大尺度涡结构，对小尺度涡的影响进行模化，精度与代价居中；直接数值模拟不作湍流模化，力求分辨全部尺度，但计算量随雷诺数迅速增长，目前多用于基础研究^[14][15]。除流体力学问题外，同一套方法还被用于传热、化学反应、多相流以及流固耦合等场景。

影响与争议

20世纪70年代末至80年代，计算流体力学进入工程实用阶段。1978年，美国航空航天局部署的ARC3D程序实现了三维纳维-斯托克斯方程的数值求解，是最早的黏性流动计算程序之一^[16]。1980年，帕坦卡（S. V. Patankar）出版《数值传热与流动》，长期被视为该领域影响最大的著作之一^[13]。1981年，英国CHAM公司推出求解流动与传热问题的PHOENICS，成为首个进入市场的CFD商业软件；随后CFX、FIDAP、FLUENT等相继问世，有限容积法、有限元法和混合网格等技术被陆续引入^[12]。

中国的计算流体力学研究起步较早。20世纪70年代，在钱学森的建议下，一批中国学者开始关注并研究计算流体动力学，此后该方向在国内迅速发展^[17]。1982年7月，第1届全国计算流体力学会议在成都召开，此后每两年举办一届^[17]。张涵信提出了设计数值格式的原则和NND格式，并长期倡导把数值计算与流动的物理分析结合起来^[17]。庄逢甘与张涵信同时指出，计算流体力学会产生海量数据，研究者若一味依赖计算程序、数据和图像而忽视流动机理分析，反而不利于学科发展^[17]。

计算流体力学的可靠性受多重因素制约。一方面，计算结果的准确性取决于所用数学模型能否反映问题实质；另一方面，数值计算过程不可避免地引入数值误差，而描述流体流动的偏微分方程组在解的存在性与唯一性等数学问题上仍未解决^[18]。因此，模拟结果通常需要经过网格无关性检验，并与实验数据相互比较后才用于设计^[4][3]。湍流、燃烧、多相流等物理模型的精度，以及网格质量与计算资源，是当前结果不确定性的主要来源^[12][15]。

参见

• 流体力学 —— 计算流体力学所属的母学科，研究流体运动的基本规律。

• 纳维-斯托克斯方程 —— 描述黏性流体运动的基本方程，是数值求解的核心对象。

• 湍流 —— 计算流体力学中最重要也最困难的模拟对象。

• 有限体积法 —— 工程计算中最常用的离散方法，随计算流体力学发展而成熟。

• 风洞 —— 实验流体力学的主要手段，与数值模拟互为补充和验证。

• 钱学森 —— 中国发展计算流体力学研究的倡导者之一。