截断误差

定义

截断误差（truncation error）又称方法误差，一般指数学模型的准确解与由数值方法得到的准确解之间的差。^[7][2] 在误差的各类来源中，它与模型误差、观测误差、舍入误差并列，属于对数学模型作数值近似这一环节带来的误差，因而被认为出自计算方法自身。^[1][8] 数值分析通常在假定数学模型与已知数据准确的前提下，重点考察截断误差与舍入误差对计算结果的影响。^[8]

按考察范围，截断误差分为局部截断误差与全局截断误差。局部截断误差假定本步起点恰好落在精确解曲线上，只衡量单步计算引入的偏差；全局截断误差则是数值解在某一时刻与精确解之间的总偏差，由各步局部误差累积而成。^[9][10] 在稳定方法中，全局误差的量级通常比局部截断误差低一个步长的幂次。^[11]

原理

截断误差最常见的来源是把无限过程截断。以指数函数为例，其泰勒级数含无穷多项，实际计算只能取开头若干项，被舍去的尾项即构成误差。^[3][1] 用 n 次多项式近似函数 $f(x)$ 时，余项 $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 就是该近似的截断误差，其中 $\xi$ 位于 $x$ 与 $x_0$ 之间。^[12]

数值计算中的误差按来源可分为四类，其关系如下：

flowchart LR

A[误差] --> B[模型误差]

A --> C[观测误差]

A --> D[截断误差]

A --> E[舍入误差]

其中前两类来自建模与测量环节，后两类则与所用算法及计算机的字长有关。^[1][8]

把导数换成差商是另一典型情形。用前向差商 $(f(x+h)-f(x))/h$ 近似 $f'(x)$ 时，代入泰勒展开可知误差主项约为 $\frac{h}{2}f''(x)$，与步长成正比，属一阶格式；改用中心差商 $(f(x+h)-f(x-h))/(2h)$，误差主项为 $\frac{h^2}{6}f'''(x)$，属二阶格式，步长减半时误差约降为原来的四分之一。^[13][9]

在有限差分法中，人们用差商替换偏微分方程里的导数，由此得到的离散方程与微分方程之间存在截断误差，它由被略去的泰勒级数项构成。^[14] 需要与之区分的是离散误差，即网格节点上的数值解与连续解之差；两者阶数一般相同，但含义不同，前者衡量方程的近似程度，后者衡量解的偏差。^[14]

方法的精度用阶数来刻画：局部截断误差为 $O(h^{p+1})$ 的方法称为 p 阶方法，其全局误差按 $O(h^p)$ 缩小。^[9][11] 例如欧拉法的局部截断误差为 $O(h^2)$，是一阶方法；经典四阶龙格-库塔法属四阶方法，在相同步长下精度更高。^[9][15]

发展历程

常微分方程初值问题的早期数值解法以欧拉方法为主。它由截断的泰勒展开导出，局部截断误差为 $O(h^2)$，收敛阶较低。^[9][16]

1895 年，德国数学家卡尔·龙格(Carl Runge)发表关于微分方程数值解的论文，提出多级格式，把可达到的阶数由 1 提高到 2。^[17] 1900 年卡尔·海因(Karl Heun)给出二阶方法族，1901 年威廉·库塔(Wilhelm Kutta)提出 s 级格式的一般形式并给出经典四阶公式，四阶龙格-库塔法此后成为广泛使用的解法。^[15]

此后围绕阶数与误差估计的研究持续推进。电子计算机问世后，截断误差的分析、估计与控制成为数值分析的中心课题之一，误差估计量还被用来自动调整积分步长。^[5][18]

应用

在数值积分与无穷级数求和中，计算只能取有限项，被舍去部分之和即截断误差。例如计算 $\int_0^1 e^{-x^2}dx$ 时取泰勒展开的前四项，其余项构成截断误差，可据此判断近似值的精度。^[8][3]

在微分方程数值解中，欧拉法、龙格-库塔法、线性多步法等都以泰勒展开为基础，其精度由局部截断误差的阶决定。^[9] 把误差估计量与给定的容差比较，可控制步长，使每一步的误差不超过允许范围，这也是自适应步长算法的基本做法。^[18]

在偏微分方程的差分计算中，截断误差用于衡量差分格式对原微分方程的逼近程度，并作为讨论格式相容性的依据。^[19] 例如在气象数值预报中，模式方程的解与原始方程的解之差即属于截断误差。^[20]

在数值微分中，步长的选取需要在截断误差与舍入误差之间折中。截断误差随步长减小而下降，舍入误差却随步长减小而上升，两者量级相当时总误差最小。^[13][19]

局限

截断误差的余项表达式中含有位于两点之间的未知点 $\xi$，实际计算时无法确定其确切数值，通常只能结合导数的界给出上界估计，或按首项误差项作大致估算。^[21]

减小步长并不能无限提高精度。步长越小，截断误差越小，但相近数相减造成的舍入误差会被放大，两者之和存在一个使总误差最小的最优步长。^[13][6][19]

局部截断误差趋于零只说明格式相容，并不足以保证计算结果可靠；差分格式要收敛还须满足稳定性，对相容的格式而言，稳定性是收敛的充要条件。^[19] 仅控制局部误差也不能确保最终结果准确，结果的可靠性还取决于问题本身的性态与所用方法的稳定性。^[10]

此外，高阶格式对舍入误差更敏感。在有效位数较少的早期计算机上，采用高阶方法相对于低阶方法的收益有限。^[22]

参见

• 舍入误差 —— 与截断误差并列的一类数值误差，源于计算机字长有限。

• 数值分析 —— 截断误差的估计与控制是其中心课题之一。

• 泰勒级数 —— 分析与估计截断误差的主要工具。

• 欧拉方法 —— 局部截断误差为 O(h²) 的一阶方法。

• 龙格-库塔法 —— 通过匹配泰勒展开项提高阶数的方法。

• 有限差分法 —— 用差商代替导数时产生截断误差。