阿贝尔判别法

定义

数项级数形式的阿贝尔判别法讨论形如 ∑a_n b_n 的级数。若级数 ∑a_n 收敛，而数列 {b_n} 单调且有界，则该乘积级数收敛^[2][3]。应用中通常把通项拆成两部分：一部分取自一个已经收敛的级数，另一部分构成单调有界数列，再由判别法断定整个级数收敛^[5]。

另一个版本针对幂级数。如果正实数列 {a_n} 单调递减并且趋于 0，那么幂级数 f(z) = ∑a_n z^n 在闭单位圆上除 z = 1 以外的每一点都收敛；由此还可推出该幂级数的收敛半径至少为 1^[2][1]。

针对函数项级数还有一致收敛形式的判别法：设 {g_n} 在一个集合上一致有界，且对集合中每个点都随 n 单调，若 ∑f_n(x) 在该集合上一致收敛，则 ∑f_n(x)g_n(x) 也一致收敛^[1][6]。

原理

阿贝尔判别法的证明以分部求和为基础，这一恒等式是分部积分的离散版本^[1][6]。记 s_k 为级数 ∑a_n 的部分和，则当 n < m 时有 $\sum_{k=n+1}^{m} a_k b_k = s_m b_m - s_n b_{n+1} + \sum_{k=n+1}^{m-1} s_k (b_k - b_{k+1})$^[7]。

由于 ∑a_n 收敛，其余项 s_m b_m 与 s_n b_{n+1} 都趋于零；又因为 {b_n} 单调，相邻两项之差 b_k − b_{k+1} 不变号，其绝对值组成的级数可以望远镜式地求和并被数列 {b_n} 的取值范围控制，于是借助柯西收敛准则即可断定 ∑a_n b_n 收敛^[7][8]。

还有一种途径是把阿贝尔判别法作为狄利克雷判别法的推论。设 {b_n} 的极限为 b，令 c_n = b_n − b，则 {c_n} 单调并趋于零，而 ∑a_n 的部分和有界，由狄利克雷判别法知 ∑a_n c_n 收敛，再加上 b 乘 ∑a_n 也收敛，便得到所需结论^[8][1]。

flowchart TD

A[级数 ∑a_n 收敛] --> C[部分和 s_n 有界且余项趋于零]

B[数列 b_n 单调有界] --> D[差分 b_k − b_{k+1} 同号且可求和]

C --> E[分部求和恒等式]

D --> E

E --> F[级数 ∑a_n b_n 收敛]

发展历程

该判别法以挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔命名。阿贝尔在 1826 年发表了一篇关于二项级数展开的论文，其中给出了与之相关的收敛性结果^[1][9]。阿贝尔生于 1802 年、卒于 1829 年，生前其关于级数收敛性、椭圆函数等方面的工作并未获得承认^[10]。

在更一般的框架下，阿贝尔判别法可以由杜·布瓦-雷蒙判别法导出，是它的一个特例^[6]。此后这一结论被移植到函数项级数、无穷限反常积分以及含参量反常积分的一致收敛判断中，并与狄利克雷判别法并称 A–D 判别法^[11][4]。

后续研究继续放宽其条件。《数理化解题研究》2022 年第 18 期的一篇文章给出了更一般的级数收敛判定方法，并在此基础上推广了阿贝尔判别法^[12]。

应用

阿贝尔判别法最主要的用途是判断非绝对收敛的级数是否收敛；对于已经绝对收敛的级数，结论虽然成立，但几乎不言自明，判别法本身不起什么作用^[13]。

在一致收敛问题中，函数项级数版本的判别法常用来证明和函数的连续性、可积性与可导性^[1][6]。对于含参量的广义积分，若 ∫f(x,y)dx 关于参数一致收敛，而 g(x,y) 关于 x 单调并对参数一致有界，则 ∫f(x,y)g(x,y)dx 关于参数一致收敛，例如判断形如 e^{−xy}·sin x/x 一类积分在参数区间上的一致收敛性时就会用到这一结论^[4]。

在复分析中，该判别法用来处理幂级数在收敛圆边界上的收敛问题。若系数列为单调递减的正实数列且趋于零，则幂级数在闭单位圆上除 z = 1 外处处收敛；取 z = −1 时，它就成为交错级数的判别法在更一般情形下的推广，经变量代换 ζ = z/R 还可用于收敛半径不等于 1 的幂级数^[2][1]。

局限

幂级数形式的阿贝尔判别法在 z = 1 这一点上不能使用，该点的收敛性必须单独考察^[2][1]。

该判别法给出的是收敛的充分条件，叙述形式是“若满足某些条件则级数收敛”，因此条件不成立时并不能据此判断级数发散^[8]。

与关系密切的狄利克雷判别法相比，阿贝尔判别法对第一个级数的要求更强：后者只要求该级数的部分和有界，前者却要求它本身收敛。因此凡是能用阿贝尔判别法处理的级数，一般也能用狄利克雷判别法处理，从这个角度看阿贝尔判别法是狄利克雷判别法的特例，适用范围相对更窄^[5][8]。

参见

• 狄利克雷判别法 —— 与阿贝尔判别法关系最密切的收敛判别法，阿贝尔判别法可由它推出。

• 阿贝尔定理 —— 关于幂级数在收敛圆边界上的极限与其系数和的关系，同以阿贝尔命名。

• 分部求和法 —— 又称阿贝尔变换，是证明阿贝尔判别法的基本工具。

• 幂级数 —— 阿贝尔判别法可用于判断幂级数在收敛圆边界上的收敛性。

• 莱布尼茨判别法 —— 交错级数的收敛判别法，可视为阿贝尔判别法在幂级数 z = −1 情形的特例。