狄利克雷判别法

定义

狄利克雷判别法讨论的是形如 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 的级数，即通项由两个因子相乘得到的级数。它要求数列 $\{a_n\}$ 单调递减并以零为极限，同时另一数列 $\{b_n\}$ 的部分和 $B_n=b_1+\cdots+b_n$ 有界，也就是存在某个常数 $M$，使 $|B_n|\le M$ 对一切 $n$ 都成立。满足这些条件时，级数 $\sum a_n b_n$ 必定收敛。^[1][2]

条件中的 $b_n$ 可以取复数，$a_n$ 则取实数；单调性的要求还能放宽为有界变差且趋于零，结论依然成立。^[3] 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法的条件能够相互转化，两者常被合称为 A-D 判别法。

原理

证明的基本工具是分部求和公式，也称阿贝尔变换。记 $B_k$ 为 $\{b_n\}$ 的前 $k$ 项和，把待判级数的部分和改写为 $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = B_n a_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} B_k (a_k - a_{k+1})$。^[4]

由于 $\{a_n\}$ 单调且趋于零，而 $|B_k|\le M$，右端第一项 $B_n a_{n+1}$ 趋于零；后面的和式则可被 $M\sum_{k}(a_k-a_{k+1})$ 控制。这个和式相邻项相消，其值不超过 $M a_1$，因而绝对收敛，原级数随之收敛。^[4][3]

发展历程

该判别法以数学家狄利克雷命名，相关结果在他生前作出，最终以遗作形式发表。1862 年，一篇题为《Démonstration d'un théorème d'Abel》（对一个阿贝尔定理的证明）的短文刊登于《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》。^[5]

狄利克雷的生卒年为 1805 年至 1859 年，因此这一判别法的正式刊行是在他去世之后。^[3]

此后，狄利克雷判别法被写入数学分析教材，与阿贝尔判别法一起安排在一般项级数部分讲授，用于处理正项级数判别法难以奏效的收敛性问题。^[2]

应用

对数项级数而言，判别法常用于通项为乘积形式、难以直接判断绝对收敛的场合。典型例子是 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^p}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^p}$：当 $p>0$ 且 $x$ 不为 $2\pi$ 的整数倍时，这两个级数都收敛。^[4]

判别法可以推广到函数项级数：如果部分和函数列在给定集合上一致有界，另一函数列关于 $n$ 单调并在此集合上一致趋于零，则级数在该集合上一致收敛。^[6]

对反常积分存在平行的结论：若 $F(A)=\int_a^A f(x)\,dx$ 有界，且 $g(x)$ 单调并趋于零，则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x)\,dx$ 收敛；含参量的反常积分也有相应的一致收敛判别法。^[7]

在判定菲涅尔型积分的敛散性时，也常需要先借助狄利克雷判别法确定其是否收敛。

局限

狄利克雷判别法给出的是充分条件而非必要条件，级数收敛时未必满足它的每一项要求，因此不能用它去否定一个级数的收敛性。^[8]

它的条件包含单调性与有界性两项，数量较多，学习时常被视为难点，使用时需要逐条核对，不能仅凭部分和有界或仅凭数列单调就下结论。^[9]

该判别法与阿贝尔判别法互有强弱，须依具体问题选用；当所需的部分和并不具有有界性时，狄利克雷判别法便无法使用。^[6]

参见

• 阿贝尔判别法 —— 与狄利克雷判别法条件可以互相转化，二者合称 A-D 判别法。

• 交错级数 —— 交错级数的收敛判定是狄利克雷判别法的特例。

• 莱布尼茨判别法 —— 交错级数的常用判别法，可由狄利克雷判别法推出。

• 一致收敛 —— 狄利克雷判别法可推广用于判定函数项级数的一致收敛。

• 反常积分 —— 狄利克雷判别法有适用于反常积分收敛性的对应形式。

• 数项级数 —— 狄利克雷判别法最常见的应用对象。