量子统计是建立在量子力学基础上、属于统计力学分支的学科，研究由大量全同粒子构成的系统，从粒子的微观运动规律出发推算系统的宏观热力学性质[1][2]。其核心内容是玻色-爱因斯坦统计与费米-狄拉克统计，分别给出全同玻色子与全同费米子的能量分布规律[1]。与经典统计相比，量子统计把全同粒子视为不可分辨，这一差别在低温和高密度条件下会产生可观测的宏观效应[3][4]。
定义
量子统计处理的对象是由大量全同粒子组成的系统，系统状态用波函数或统计算符描述，统计算符在任意表象中的矩阵形式即密度矩阵，力学量的平均值为 $\langle \hat{A}\rangle=\operatorname{Tr}(\hat{A}\hat{\rho})$[5]。处于平衡态的系统常用巨配分函数 $\Xi=\prod_i \Xi_i$ 求解，由它可算出平均粒子数以及能量、压强等热力学量[6]。
对于彼此无相互作用的近独立全同粒子，设能级 $\varepsilon_i$ 的简并度为 $g_i$，则热平衡时该能级上的平均粒子数由三类分布给出：可分辨的定域粒子服从 $n_i=g_i/e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_BT}$，玻色子服从 $n_i=g_i/(e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_BT}-1)$，费米子服从 $n_i=g_i/(e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_BT}+1)$[6][7]。
整数自旋粒子的多体波函数在交换任意两个粒子时保持不变，同一单粒子态上的粒子数不受限制；半整数自旋粒子的波函数在交换时变号，同一单粒子态最多容纳一个粒子，即满足泡利不相容原理[8][9]。量子效应能否忽略，可由热德布罗意波长 $\lambda_T=h/\sqrt{2\pi m k_BT}$ 与粒子间平均距离的比较来判断，两者可比时须采用量子统计[10]。
背景
19世纪末至20世纪初，经典统计物理在若干实验现象上遇到困难。按能量均分定理，黑体辐射的能量密度会在高频端发散，形成所谓紫外灾变；固体比热的经典预言在低温下与测量结果不符；金属中的自由电子若按经典方式统计，会给出远大于实测值的比热贡献[10][3]。此外还有吉布斯佯谬：把同种气体分子当作可分辨粒子计数时，混合熵的结果与热力学第二定律相冲突[3]。
量子统计正是在解决这些问题的过程中形成的。1900年普朗克给出黑体辐射的能量分布，1913年德拜处理固体比热，此后玻色与阿尔伯特·爱因斯坦（1924—1925年）、费米与狄拉克（1926年）先后建立自由量子气体的理论，许多悬置的问题才获得统一处理[11]。1924年，萨特延德拉·纳特·玻色把光子当作彼此不可区分的粒子重新推导了普朗克公式，爱因斯坦随即把这一方法推广到原子体系，并于1925年前后预言：温度足够低时，大量玻色子会聚集到同一最低能态[12][13]。
内容
量子统计的出发点是全同粒子的不可区分性。交换两个同类粒子并不产生新的状态，因此多体波函数在粒子交换下只能是对称的或反对称的[3]。对称波函数对应玻色统计，反对称波函数对应费米统计，两者的状态计数方式不同：前者允许任意多个粒子占据同一单粒子态，后者要求每个单粒子态至多有一个粒子[14]。三种统计的差别，只在同一状态被多个粒子占据的概率不可忽略时才显现出来[3]。
对近独立系统，用巨正则系综可写出三类分布对应的巨配分函数，费米子为 $\Xi_i=(1+e^{-\alpha-\beta\varepsilon_i})^{g_i}$，玻色子为 $\Xi_i=(1-e^{-\alpha-\beta\varepsilon_i})^{-g_i}$，再由 $\langle a_i\rangle=-\partial\ln\Xi_i/\partial\alpha$ 得到平均粒子数，并进一步算出全部热力学量[6]。光子气体的化学势为零，其玻色分布直接给出黑体辐射的普朗克能谱，光子数密度与温度的 3 次方成正比[15]。
费米统计的直接后果是费米海与简并压：即使在绝对零度，金属中的电子也填充到费米能为止，只有费米面附近的电子能够参与热激发或响应外磁场，金属的比热与磁化率因此远小于经典预估值；同样的简并压支撑白矮星与中子星抵抗引力坍缩[10]。玻色统计则带来另一类现象：温度降低时大量粒子进入同一量子态，形成玻色-爱因斯坦凝聚，并伴随超流等宏观量子行为[16]。
影响与争议
沃尔夫冈·泡利于1925年提出不相容原理，又在1940年给出自旋统计定理，指出整数自旋粒子只能服从玻色统计，半整数自旋粒子只能服从费米统计[9]。该定理的证明是在相对论性量子场论的框架内完成的，其前提包括洛伦兹不变性与场的类空对易关系等假设[17]。此后关于量子多体系统稳定性的严格研究，如Dyson与Lenard、Lieb与Lebowitz的工作，进一步表明泡利原理对物质的热力学行为起关键作用[11]。
玻色统计的宏观后果后来在实验中得到确认。伦敦在液氦超流的发现之后，把这一现象与玻色-爱因斯坦凝聚联系起来[18]。1995年6月5日，康奈尔与韦曼在稀薄铷原子气体中把温度降到约170纳开，首次得到气态玻色-爱因斯坦凝聚；数月后克特勒在麻省理工学院用钠原子实现同类凝聚，三人共同获得2001年诺贝尔物理学奖[19][20]。
量子统计与经典统计并非彼此取代。在温度足够高、密度足够低，即简并参数 $n\lambda_T^3\ll1$ 的条件下，玻色分布与费米分布都退化为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布，理想气体状态方程等经典结论得以重现[10]。不过，进入经典极限的关键是占据数很低而非单纯的高温，光子气体的化学势恒为零，其低能态始终被大量占据，因此黑体辐射不可能用经典统计描述[21]。
参见
参考资料
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- 第三章 量子统计物理学基础 . ustc.edu.cn [引用日期2026-09-27]
- Matthew Schwartz . harvard.edu [引用日期2026-09-27]
- 经典统计与量子统计 | Bohrium . bohrium.com [引用日期2026-09-27]
- 这一章是平衡态统计物理的核心内容，我们的理论是一般性的理论，可应用的对象包括了有相互作用粒子组成的系统 . ustc.edu.cn [引用日期2026-09-27]
- 热力学与统计物理 . itp.ac.cn [引用日期2026-09-27]
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- DOI: . nature.com [引用日期2026-09-27]
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- 菲叶茨指出，在没有外场的情形下，可以给出自旋为整数的或者半整数但大于1的粒子的波场 . cpsjournals.cn [引用日期2026-09-27]
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- Bose–Einstein condensate . wikipedia.org [引用日期2026-09-27]
- aip.org 上的网页 . aip.org [引用日期2026-09-27]
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