薄透镜成像公式

定义

薄透镜的两个折射球面顶点可以认为重合于一点，这个点称为光心，物距与像距都从光心量起。^[4] 两侧介质折射率相同时，物方焦距与像方焦距大小相等，公式化为 $1/u + 1/v = 1/f$；若两侧介质折射率不同，两个焦距不再相等，穿过光心的光线也会发生偏折，此时必须使用带两个焦距的形式。^[5]

空气中的薄透镜，其焦距取决于镜片材料的折射率 n 和两个表面的曲率半径 R1、R2：$1/f = (n-1)(1/R_1 - 1/R_2)$，这一关系常被称为透镜制造者公式。^[3] 像高与物高之比称为横向放大率，其数值等于像距与物距之比；在常见的符号约定下，倒立的实像对应负的放大率，正立的虚像对应正的放大率。^[2][6]

原理

薄透镜可以看作由两个折射球面组成的系统：光线先在第一个面上折射，该面所成的像再作为第二个面的物，对第二个面来说这个物可能是虚物。^[4] 用这种逐次成像的办法，把两个球面的折射关系相加并忽略透镜厚度，即得到薄透镜的物像公式。^[4]

平行于主光轴入射的光线经透镜后会聚或发散，其与主光轴的交点称为焦点，焦点到光心的距离就是焦距。^[4] 用作图法求像时可以利用三条特殊光线：平行于主光轴的光线出射后通过像方焦点，通过物方焦点的光线出射后平行于主光轴，通过光心的光线方向不变；任取其中两条就能确定像的位置和大小。^[2]

公式成立以近轴条件为前提，即只考虑与主光轴夹角很小的光线，此时可以把角度的正弦、正切近似为该角本身。^[2] 焦距的倒数称为光焦度，单位为屈光度，会聚透镜的光焦度取正值，发散透镜取负值；几个薄透镜紧靠在一起时，组合光焦度等于各片光焦度之和。^[4][7] 若把量距起点改到两个焦点上，设物到物方焦点的距离为 x、像到像方焦点的距离为 x'，物像关系写成 $xx' = ff'$，空气中即 $xx' = f^2$，这种形式称为牛顿公式。^[8]

发展历程

17 至 18 世纪，科茨、莱昂哈德·欧拉、拉格朗日、莫比乌斯等人已经提出大量近轴光线的作图与计算规则，但这些式子普遍把透镜厚度当作零来处理，在精度和适用范围上受到限制。^[9]

1841 年，卡尔·弗里德里希·高斯出版《Dioptrische Untersuchungen》（折射研究），系统阐述了近轴成像理论。^[10] 他证明在近轴光线范围内，结构再复杂的透镜系统都可以用一对主点和一对焦点等效替代，从主点到相应焦点的距离即焦距，两侧介质折射率相同时前后焦距大小相等。^[11] 这部著作被视作高斯在光学领域的最后一项重要成果。^[10]

应用

在光学设计中，薄透镜成像公式用于一阶近似计算：先据此确定各片透镜的光焦度和彼此间距，再在此基础上修正像差，进而设计实际使用的厚透镜系统。^[3] 多片薄透镜紧靠时组合焦距的倒数等于各片焦距倒数之和，可用于估算透镜组的焦距。^[7]

眼镜片的度数按其光焦度数值的 100 倍标定，光焦度的单位是屈光度。^[4]

在照相机自动对焦中，物距的变化与像面移动量之间的关系可用牛顿形式的物像公式描述，控制算法据此算出传感器或镜组需要移动的距离。^[12] 物体与像大小相等、共轭距离为四倍焦距的布置，也可以由这一形式直接给出。^[12]

局限

薄透镜假设厚度小到可以忽略，两个球面顶点重合；实际透镜总有一定厚度，须按厚透镜处理，物距和像距从主平面量起，焦距关系式中还要增加与厚度有关的项。^[13][3]

公式建立在近轴近似之上，要求光线与光轴的夹角足够小；当光线远离光轴或张角较大时，点物不再成理想点像，会出现球面像差、彗差、像散、场曲和畸变等单色像差，即第三级的赛德尔像差。^[13]

透镜材料的折射率还随波长变化，不同颜色的光焦距不同，因而产生位置色差和放大率色差；改用反射面可以避开色差，而要使轴外物点不产生彗差，还须满足阿贝正弦条件。^[14]

薄透镜本身只是光学设计中的理想化概念，现实中并不存在厚度为零的透镜；评价实际系统时通常要用光线追迹，并把衍射的影响一并计算。^[3][13]

参见

• 高斯光学 —— 近轴条件下的成像理论框架，薄透镜成像公式是其中的基本结论。

• 费马原理 —— 几何光学的基本原理，透镜的成像规律可由它导出。

• 光焦度 —— 焦距的倒数，与薄透镜成像公式直接相关，常用于描述镜片和透镜组。

• 横向放大率 —— 描述像的大小与正倒，由物距和像距共同决定。

• 像差 —— 实际透镜偏离理想成像的结果，包括球面像差与色差等。

• 厚透镜 —— 厚度不可忽略的透镜，用于处理薄透镜公式不再适用的情况。