舍伍德数

定义

舍伍德数以符号 Sh 表示，有时也写作 Nsh，定义为传质系数与特征长度的乘积除以质量扩散系数，即 $Sh = \frac{kL}{D}$。式中传质系数的单位是米每秒，特征长度的单位是米，质量扩散系数的单位是二次方米每秒，量纲相除后所得结果没有单位^[2][3]。特征长度按所研究的对象选取，可以取管道直径、颗粒直径或平板长度^[1]。

从物理含义看，这一比值给出的是对流与扩散共同作用下的总传质速率同单纯扩散传质速率之间的对比。数值越大，说明流动对传质的促进作用越突出，物质必须穿过的有效边界层越薄；数值接近下限时，则表明扩散是主要的输运方式^[5]。当流动停止、只剩下分子扩散时，静止流体中球形颗粒的传质对应 Sh 趋于 2 的极限^[6]。

通过量纲分析，可以把舍伍德数表示成雷诺数与施密特数的函数，即 $Sh = f(Re, Sc)$，其中前者刻画流动状态，后者刻画动量扩散与质量扩散的对比^[1]。这一结构与传热学中努塞尔数随雷诺数和普朗特数变化的规律完全对应，是热质传递类比能够成立的前提^[1]。

原理

对流传质通常用传质系数来描述，界面处的物质通量等于传质系数与界面同主流之间浓度差之积^[5]。舍伍德数正是把这个难以直接测量的系数与可查的扩散系数、可测的几何尺寸联系起来的中介量。

膜理论给出了一个直观的解释：界面附近存在一层近似静止的流体膜，物质只能依靠分子扩散穿过它，于是传质系数可以写成扩散系数与膜厚之比，即 $k = D/\delta$^[7]。把它代入定义式，舍伍德数在数值上就等于特征长度与膜厚之比，因此可以理解为对有效扩散层厚度的无量纲度量^[7]。

工程计算主要依靠热质类比。奇尔顿-科尔本类比用传质 j 因子和传热 j 因子把传质系数、传热系数与摩擦因子关联起来，在施密特数介于 0.6 与 2500 之间、普朗特数介于 0.6 与 100 之间时得到实验支持^[8]。按另一种表述，努塞尔数与舍伍德数的比值等于刘易斯数的三分之一次方，当刘易斯数等于 1 时两者数值相同^[2]。

具体做法是把同一几何形状下的传热关联式中的努塞尔数和普朗特数分别换成舍伍德数和施密特数^[4]。绕流单个球体时，Ranz-Marshall 关联式写作 $Sh = 2 + 0.6 Re^{1/2} Sc^{1/3}$，适用条件是雷诺数小于 200^[4]；同一式子的系数也有取 0.552 的版本，称为 Frössling 方程^[1]。平板层流边界层的平均舍伍德数则满足 $Sh_L = 0.664 Re_L^{1/2} Sc^{1/3}$^[9]。

发展历程

舍伍德数得名于美国化学工程家托马斯·基尔戈·舍伍德（Thomas Kilgore Sherwood）。他 1903 年 7 月 25 日出生于俄亥俄州哥伦布，1976 年 1 月 14 日去世，青年时期在蒙特利尔度过，1923 年获麦吉尔大学学士学位，1929 年在麻省理工学院完成博士论文《固粒干燥的机制》^[10][11]。

1930 年他回到麻省理工学院任教，1933 年升任副教授，1941 年升任教授，1946 年至 1952 年担任工学院院长，1969 年退休后转任加州大学伯克利分校化工系教授^[10][11]。

舍伍德的主要研究方向是传质及其与流动、化学反应的相互作用。他 1937 年出版的《吸收与萃取》是该领域第一部重要教科书，1952 年与皮格福德合作修订，1974 年又与皮格福德和威尔基共同完全重写，书名改为《传质》^[11][12]。这一无量纲数以他的姓氏命名，用以记认他在传质研究上的开创性贡献^[12]。

与之配套的关联式在此后数十年间陆续建立：Frössling 于 1938 年发表绕流单球蒸发的分析，Ranz 与 Marshall 于 1952 年在《化学工程进展》上给出球体的传热与传质关联式^[4]。奇尔顿-科尔本类比则在雷诺类比的基础上放宽了物性限制，使传质系数可以由传热数据或摩擦数据推算^[8]。

应用

在化学工程中，舍伍德数主要用于由流动条件推算传质系数，进而确定设备所需的接触面积或停留时间^[2]。在催化与颗粒反应体系中，气体与颗粒之间的传质用 $Sh = h_m d_p / D$ 描述，其数值随粒径线性增大，意味着颗粒内部的传质行为会随粒径明显改变^[13]。

电化学反应器同样借助量纲分析，把舍伍德数、雷诺数与施密特数组合成经验关系式，用来比较不同电极结构的传质能力。在电解反应器中填充泡沫金属铜和活性炭构成的三维电极体系，同等条件下的传质系数高于二维体系，且传质系数主要受温度影响，其次为电极维数，流量影响相对较小^[14]。

吸收、萃取与填料塔等分离设备的设计也大量使用该数。在 200 至 850 r/min 的搅拌速率下测得的舍伍德数拟合数据，可用于填料塔与降膜式反应器的设计^[2]。

这一概念还被用于分析反应器优化、腐蚀防治以及呼吸作用等过程^[5]。液滴蒸发是另一个典型场景：水滴在气流中运动时，蒸发速率可由舍伍德数、扩散系数与浓度差算出，雷诺数越高，边界层越薄，蒸发也越快^[15]。

局限

舍伍德数与努塞尔数之间的简单类比有严格前提：物性守恒、温度与浓度边界条件相同，并且传质速率远低于主体流速，使界面上的法向速度分量可以忽略^[2][9]。当蒸发、升华或吹吸造成较强的界面流动，或者表面存在波纹、粗糙以及局部干涸时，类比结果会明显偏离实际^[9]。

各种经验关联式都只在有限范围内可靠。平板层流关联式要求雷诺数低于 3×10^5 且施密特数介于 0.6 与 2500 之间，湍流关联式适用的雷诺数范围更高，超出范围后计算结果不再可信^[9]。球体关联式中的雷诺数一般限制在 200 以内^[4]。

舍伍德数的取值还取决于特征长度的选法和驱动力的定义方式。在填充床中，按进出口平均浓度差定义的床层舍伍德数与由实验数据拟合得到的膜舍伍德数在大佩克莱数下差别很小，但佩克莱数趋近零时两者会明显分离，使用哪一种需要事先说明^[16]。

理论值与实测值之间也可能存在系统偏差。电解反应器实验显示，流体处于层流时实测舍伍德数与层流理论式的计算值较为接近，偏差约为 0 至 14.65%，而与湍流理论值相差较大^[14]。在微通道反应器中，壁面粗糙度等理论未计入的效应会使实测值低于预期，圆管充分发展流动中理论设定的 3.66 这一极限也不总能观察到^[17]。

参见

• 努塞尔数 —— 传热学中与之地位对应的无量纲数，两者通过热质类比相互换算。

• 雷诺数 —— 表征流动惯性力与黏性力之比，是舍伍德数关联式中的主要自变量。

• 施密特数 —— 动量扩散与质量扩散之比，在传质关联式中对应传热学里的普朗特数。

• 佩克莱数 —— 对流输运与扩散输运之比，数值上等于雷诺数与施密特数之积。

• 刘易斯数 —— 热扩散与质量扩散之比，其立方根决定努塞尔数与舍伍德数的比值。

• 传质系数 —— 舍伍德数定义式中的核心物理量，表示单位浓度差下的传质通量。