普朗特数

定义

普朗特数的定义式为 $Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu c_p}{k}$，其中 $\nu = \mu/\rho$ 是运动黏度，代表动量扩散率；$\alpha = k/(\rho c_p)$ 是热扩散率，代表热量扩散率；$\mu$ 为动力黏度，$\rho$ 为密度，$c_p$ 为定压比热容，$k$ 为导热系数。^[2][1]

定义式中只包含流体的热物性，不含长度量纲，所以普朗特数只由流体种类及其状态（温度、压强）决定，与流动的几何尺度无关。^[1][5] 正因如此，它与黏度、导热系数一样可以作为流体物性查表获得；在大气压下温度、压强变化不大时，其数值几乎不变。^[1]

不同流体的普朗特数相差悬殊：空气和多数气体约为 0.71，氧气约为 0.63，水在 18 ℃ 时约为 7.56，海水在 0 ℃ 与 20 ℃ 时分别约为 13.4 和 7.2；液态金属则低得多，975 K 时熔融钾约为 0.003，熔融锂约为 0.065。^[1] 汞约为 0.015，发动机油则在 100 至 40000 之间。^[6]

原理

动量扩散指流体内部速度差异逐渐被抹平的过程，其快慢由运动黏度 $\nu$ 表征；热量扩散指温度差异逐渐消失的过程，其快慢由热扩散率 $\alpha$ 表征。^[7] 扩散所需的特征时间与距离的平方成正比、与扩散率成反比，两者相比时距离项被消去，因此普朗特数只反映两种扩散的相对快慢。^[7]

普朗特数的数值决定了速度边界层与热边界层的相对厚薄：$Pr>1$ 时动量扩散更快，速度边界层比热边界层厚；$Pr<1$ 时热量扩散更快，热边界层更厚；$Pr$ 接近 1 时两者厚度相近。^[5][3] 对气体而言 $Pr$ 通常接近 1，速度场与温度场具有相似性。^[8][5]

当 $Pr=1$ 时，动量传递与热量传递之间存在直接对应关系，即雷诺类比，可用来简化工程计算。^[3] 在对流换热问题中，努塞尔数一般写成雷诺数、普朗特数等无量纲数的函数，如 $Nu=f(Re,Pr,Gr,Ek)$；佩克莱特数则等于雷诺数与普朗特数之积，即 $Pe=Re\cdot Pr$。^[8][4]

普朗特数大小与边界层厚薄的对应关系可概括为下图。^[5]

graph LR

A["普朗特数 Pr = ν/α"] --> B{"Pr 的数值"}

B -->|接近 1| C["速度边界层与热边界层厚度相近"]

B -->|大于 1| D["速度边界层更厚"]

B -->|小于 1| E["热边界层更厚"]

发展历程

普朗特数以其提出者、德国力学家路德维希·普朗特命名。^[1] 普朗特 1875 年 2 月 4 日出生在德国弗赖辛，1904 年 8 月在德国海德堡举行的第三届国际数学家大会上宣读论文，首次提出边界层概念，此后长期在哥廷根大学任应用力学教授，1953 年 8 月 15 日去世。^[9][10]

1910 年，普朗特提出了后来以他命名的普朗特数，用于反映流动中内摩擦生热与热量耗散之间的比例关系。^[11]

进入 20 世纪 40 年代后，针对液态金属等低普朗特数流体的湍流换热研究持续展开，多数换热关联式沿用了 Lyon 在 1949 年提出的半经验结构。

应用

在工程传热计算中，普朗特数出现在各类对流换热关联式里，用于由雷诺数推算努塞尔数进而得到换热系数。^[8] 例如管内强制对流换热常把努塞尔数表示为 $Nu=f(Re,Pr)$ 的形式。^[8]

核工程中常用液态金属作冷却剂，其普朗特数远低于水和空气，例如液态钠约为 0.01，液态铅铋共晶合金约为 0.02。^[12][13] 这类流体热扩散极强，热边界层明显厚于速度边界层，其换热计算需要专门的关联式或湍流模型。^[13]

湍流换热计算还需要湍流普朗特数，它定义为湍流动量涡扩散率与湍流热扩散率之比；在常规流体的湍流模型中，该量常取 0.85 至 0.9 左右的常数。^[14][13]

由于气体的普朗特数在大气压下近乎恒定，工程上还可用它间接推算难以直接测量的高温气体导热系数。^[1]

局限

普朗特数只是表征流体物性的一个无量纲数，定义中不含长度尺度，因此单凭它无法判断流动处于层流还是湍流，必须与雷诺数等参数配合使用。^[1]

对于液态金属这类普朗特数远小于 1 的流体，热边界层与速度边界层差别很大，以速度场和温度场相似为前提的雷诺类比不再适用，把湍流普朗特数取为接近 1 的常数会给换热预测带来明显偏差。^[12][13] 研究还表明，湍流普朗特数实际会随雷诺数和分子普朗特数改变，采用固定值并不合适。

低普朗特数液态金属的流场与温度场难以精确测量，受测试技术限制，相关研究较多依赖数值模拟。^[15]

参见

• 雷诺数 —— 衡量惯性力与黏性力之比的无量纲数，常与普朗特数一起构成对流换热关联式。

• 努塞尔数 —— 表示对流换热强度的无量纲数，通常是雷诺数与普朗特数的函数。

• 佩克莱特数 —— 对流与扩散效应之比的量度，等于雷诺数与普朗特数之积。

• 施密特数 —— 传质过程中与普朗特数地位相当的无量纲数。

• 磁普朗特数 —— 磁流体力学中与普朗特数类似的无量纲数，涉及磁扩散率。

• 边界层 —— 普朗特数决定速度边界层与热边界层的相对厚度。