绝对偏差是统计学与测量学中描述单个观测值偏离某个中心值程度的量,通常取该观测值与多次测定平均值之差的绝对值,数学上写作个别测定值减去算术平均值后取绝对值。它把偏离的方向去掉,只保留偏离的"距离",因而避免了正负离差相互抵消的问题,是平均偏差、中位数绝对偏差等离散程度指标的计算基础。绝对偏差与相对偏差、标准偏差同属表示测量误差与数据离散性的常用方法,广泛用于分析化学、计量测试、质量控制和稳健统计等领域。
定义
绝对偏差指个别测定值与该组多次测定结果的算术平均值之差,计算时取差的绝对值,简称偏差。其数学表达式为:绝对偏差等于个别测定值减去多次测定的算术平均值。[1]
在更一般的统计语境中,绝对偏差被定义为数据集中的某个元素与某个给定点之间的绝对差。这个给定点通常取数据的中心位置,即某类平均值,最常见的是中位数,有时也用均值。取绝对值的目的是去掉偏离方向,只保留元素与中心点之间的"距离"。[2]
把各个观测值的绝对偏差再取平均,就得到平均绝对偏差;若取绝对偏差绝对值的中位数,则得到中位数绝对偏差。这些指标都属于统计离散程度的度量。绝对偏差描述的是单次测量值与均值的偏离程度,而相对偏差是绝对偏差与均值之比,常用百分数表示,用来反映偏差的相对大小。[1]
原理
一组数据中各观测值与平均值的差有正有负,若直接相加,正负离差会相互抵消,总和恒为零,无法反映数据的散布状况。绝对偏差通过取绝对值消除了符号,使每个观测值的偏离幅度都能累加,因此可以据此构造离散程度的度量。以数据 {13, 3, 5, 1, 8} 为例,其均值为 6,各观测值相对均值的离差依次为 7、-3、-1、-5、2,取绝对值后求平均得到 3.6,说明该组数据点平均距离均值 6 有 3.6 个单位。[3]
以绝对偏差为基础可定义多种统计量。平均绝对偏差定义为各数据与平均值的离差的绝对值的平均数,设样本有 n 个观测值,其公式为 $md = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|X_i - \bar{X}\right|$,其中 $\bar{X}$ 为均值,N 为数据点总数;$\left|X_i - \bar{X}\right|$ 即第 i 个数据点的绝对偏差。[4]
中位数绝对偏差则先从数据的中位数出发求残差,再取这些残差绝对值的中位数。由于以中位数为基准,它不易受极端值影响,是单变量定量数据变异性的稳健度量,也可指由样本计算的中位数绝对偏差所估计的总体参数。[2]
flowchart LR
A[原始观测值] --> B[求算术平均值或中位数]
B --> C[计算各观测值与中心值之差]
C --> D[取绝对值 得到绝对偏差]
D --> E[求平均 得平均绝对偏差]
D --> F[取中位数 得中位数绝对偏差]
发展历程
绝对偏差并非作为独立概念被一次性提出,而是伴随误差理论与描述统计的发展逐步明确。人们认识到,受测量设备、测量方法、测量环境、观察者以及被测对象等因素影响,任何测量都无法做到完美无缺,测量结果与待测真值之间总会存在差值,即测量误差。误差无法完全消除,只能设法减小,这构成了研究误差理论的主要动因。[1]
在表达误差与离散程度的实践中,逐步形成了几类常用方法:绝对误差与相对误差,绝对偏差与相对偏差,平均偏差与相对平均偏差,极差以及样本差方和、方差、标准偏差和相对标准偏差等。其中,绝对偏差作为表示误差的方法之一得到确立。[1]
以最小化绝对偏差之和为准则的统计方法后来获得广泛发展。这类方法被称为最小绝对偏差法,在回归分析中又称 L1 回归或中位数回归,它用最小绝对偏差估计替代最小二乘估计,可视为样本中位数在线性回归模型中的推广。相较普通最小二乘回归,该方法对离群观测更为稳健。[5]
应用
在测量与检验工作中,绝对偏差用于描述单次测量值与均值的偏离程度,常与相对偏差配合使用。当比较不同量级或不同量程的数据时,相对偏差以百分数形式给出偏差的相对大小,便于判断测量结果的稳定程度。[1]
在描述统计中,平均绝对偏差被用作反映数据分布离散程度的指标,能够把总体中各单位标志值的差异情况全部纳入计算,较直观地反映各观测值围绕中心值的离散状况。它常用于需要解释性强的场合。[6]
在稳健统计与回归分析中,基于绝对偏差的方法应用广泛。最小绝对偏差回归通过最小化误差绝对值之和来估计回归参数,特别适合误差分布呈厚尾的情形;中位数绝对偏差则常被用作稳健的尺度估计量,为其他稳健估计方法提供初值。[7]
分位数回归与绝对偏差关系密切。分位数回归模型又称最小绝对值模型或最小绝对偏差模型,中位数回归通过最小化绝对残差之和,而不是最小化残差平方和,来估计因变量的中位数随自变量取值的变化情况。[8]
局限
绝对偏差含有绝对值运算,这给代数演算带来困难。有资料指出,虽然取绝对值解决了离差正负抵消的问题,但并不适合代数方法的演算,平均离差因含绝对值而不便于计算,在统计推断中的性质也远不如标准差优良,因此在统计推断中比标准差用得少。[6]
数据点个数会影响绝对偏差之和。对于离散程度相同的两组数据,数据点较多的一组,其绝对偏差之和必然更大,因此比较不同规模的数据集时需要把绝对偏差之和除以数据点总数,以消除规模效应。[3]
以最小绝对偏差为准则的回归方法也有其边界。最小绝对偏差回归只对因变量中的离群值具有抵抗力,对自变量中的杠杆点并不稳健,即使只有一个杠杆点也可能严重影响其估计结果,此时其表现并不优于普通最小二乘估计。[7]
平均绝对偏差在实际计算中相对少用,应用中较多的是方差和标准差,因为后者更便于估计总体的方差和标准差。[9]
参见
参考资料
- 绝对偏差 . baidu.com [引用日期2026-10-02]
- epfl.ch 上的网页 . epfl.ch [引用日期2026-10-02]
- Mean- Median- Mode . censtatd.gov.hk [引用日期2026-10-02]
- B8XX00252017XXXXE0100(PDF) . censtatd.gov.hk [引用日期2026-10-02]
- L1 regrese - JavaScript is disabled for your browser . cuni.cz [引用日期2026-10-02]
- [科普中国]-绝对离差 . kepuchina.cn [引用日期2026-10-02]
- S0167947311004208 . sciencedirect.com [引用日期2026-10-02]
- stata.com 上的网页 . stata.com [引用日期2026-10-02]
- [科普中国]-平均绝对离差 . kepuchina.cn [引用日期2026-10-02]
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最近更新：2026-10-02T12:16:33Z
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