离差

定义

离差用于刻画某个观测值偏离其所属数据组平均数的程度，其数值等于该观测值减去这组数据的平均数^[4]。若第 $i$ 个观测值记作 $x_i$，这组数据的算术平均数记作 $\bar{x}$，离差即可写作 $d_i = x_i - \bar{x}$，对总体而言也可写作 $x_i - \mu$^[2]。观测值高于平均数时离差取正值，低于平均数时取负值，符号指出偏离的方向，绝对值表示偏离的幅度^[1]。

作为比较的参照点并不限于平均数，也可以取中位数等集中趋势的度量^[1]。只要参照点是该组数据的算术平均数，组内所有离差相加之和必然为零^[2]。在术语习惯上，观测值与总体平均值之差常被称为统计误差，观测值与样本平均值之差则被称为残差^[5]。

原理

离差有正有负，把一组数据的离差直接相加会相互抵消，总和恒等于零，对其取平均所得的值同样是零，无法说明数据的分散状况^[6]。为消除正负相消的影响，通常对离差作两种处理，一是取其绝对值，二是取其平方^[7]。

把离差的绝对值求和后再除以观测次数，得到平均差，也称平均绝对离差，即 $MAD = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i - \bar{x}|$^[3]。把离差平方后求平均则得到方差 $s^2 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$，对方差开平方得到标准差 $s=\sqrt{s^2}$，其量纲与原始数据一致^[6]。样本方差与样本标准差以 $n-1$ 而非 $n$ 作分母，用以校正用样本估计总体方差时出现的偏低^[8]。

数据经过分组整理后，原始观测值可能不再保留，此时可用各组的组中值代替观测值计算离差，再按各组频数加权汇总^[3]。

graph LR

A[离差 d = x - 平均值] --> B[取绝对值]

A --> C[取平方]

B --> D[平均绝对离差]

C --> E[方差]

E --> F[标准差]

应用

在描述统计中，离差及其派生指标用来衡量数据的离散程度，并据此判断一个样本对总体的代表性，离散程度越小，样本的代表性通常越强^[4]。把离差除以标准差可实现无量纲化，得到标准分数 $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$，用于跨数据集比较单个观测值的位置^[9]。

当数据近似服从正态分布时，约有 99.7% 的观测值落在平均数加减 3 倍标准差的范围之内，因此偏离超过 3 倍标准差的数值常被视为异常，这一判据也被用于筛查极端值^[9]。

在质量控制领域，控制图以过程均值为中心线，并在均值上下若干倍标准差处设置上、下控制限，观测点越过控制限即提示过程可能失去控制^[10]。六西格玛等管理方法还借助离差与标准差的倍数关系计算不合格品率与过程能力指数^[11]。在物理测量中，各次观测值与多次测量算术平均值之差称为残差，被用来估算随机误差的分散程度^[8]。

局限

离差带有正负号，一组数据的离差之和恒为零，因此离差本身不能直接反映数据整体的离中趋势或离散程度^[2]。平均差虽然含义直观，但含有绝对值，不便于代数演算，在统计推断中的性质也不如标准差优良，实际使用因而相对较少^[3]。

方差和标准差建立在离差平方的基础之上，平方会放大远离平均数的观测值的作用，使这两个指标对极端值比较敏感，不够稳健^[1]。以绝对离差的中位数为基础的绝对中位差则是一种较为稳健的离散程度度量^[1]。

离差的取值依赖于参照点的选择，参照点取平均数或取中位数，同一观测值算出的离差不相同，比较时需要注意口径是否一致^[1]。此外，以离差平方和为基础的经典统计方法对离群值十分敏感，数据中只要出现一个离群值就可能使其结果失效^[12]。

参见

• 平均差 —— 由离差绝对值求平均得到的离散程度指标。

• 方差 —— 由离差平方求平均得到的离散程度指标。

• 标准差 —— 方差的平方根，与离差一样具有和原始数据相同的单位。

• 残差 —— 观测值与模型估计值之差，是离差在回归分析中的具体形式。

• 标准分数 —— 用离差除以标准差得到、可跨数据集比较的标准化数值。