湍流动能

定义

湍流动能指湍流流动中与涡旋相关的单位质量平均动能^[2]。若把瞬时速度分解为时间平均值与脉动值, 则三个方向脉动分量的方差 σ_u²、σ_v²、σ_w² 之和的一半即为湍流动能, 即 $k = \frac{1}{2}(\sigma_u^2+\sigma_v^2+\sigma_w^2)$^[1]。用张量记法可简写为 $k \equiv \frac{1}{2}\overline{u_i' u_i'}$^[3]。它等于雷诺应力张量对角线之和的一半, 因而常被看作湍流脉动的总能量水平^[4]。

脉动速度由瞬时速度减去时间平均得到, 其时间平均为零, 而脉动分量的平方平均等于对应方差且恒为非负^[1]。在气象学中, 湍流动能也常写成 $k = \frac{1}{2}\rho (v')^2$ 的形式, 其中 ρ 为流体密度, v′ 为涡动速度, 该式表征单位体积流体的湍流脉动动能^[5]。在工程计算中, 常用湍流强度 I 与平均速度 U 估算其量级, 近似关系为 $k = \frac{3}{2}(UI)^2$^[6]。

原理

湍流动能主要由平均流的剪切和摩擦作用产生, 也可来自浮力作用或低频大尺度涡旋的外部强迫^[1]。产生项取决于平均速度梯度与雷诺应力的乘积, 本质上把平均流的动能转移给湍流脉动^[7]。湍流一旦生成, 其能量便沿能量级串向更小尺度传递, 最终在柯尔莫哥洛夫微尺度上被黏性耗散为热^[1]。

把湍流动能的收支写成方程, 可表示为局地变化与平流之和等于产生、输运与耗散的某种平衡, 即 $\frac{Dk}{Dt} + \nabla \cdot T' = P - \epsilon$^[1]。其中产生项 P 刻画湍流从平均流提取能量的速率, ε 为黏性耗散率^[1]。方程通常包含剪切产生、浮力产生、湍流输运与压力扩散以及黏性耗散等项, 各项的相对大小决定流动维持还是削弱湍流。

在级串过程中, 大部分能量集中在含能尺度的大涡上, 而耗散主要发生在柯尔莫哥洛夫尺度附近的小涡中^[8]。耗散率与产生项通常量级相当, 因此黏性耗散在湍流能量收支中不可忽略^[9]。湍流动能的产生、输运与耗散构成一条完整的能量链条, 可概括为下面的流程^[7]:

flowchart LR

A[平均流剪切与浮力] -->|产生 P| B[湍流动能 k]

B -->|湍流输运| C[含能大尺度涡]

C -->|能量级串| D[小尺度涡]

D -->|黏性耗散 ε| E[流体内能]

发展历程

湍流能量逐级传递的图像最早由英国气象学家刘易斯·弗莱·理查森在1922年提出, 他用大涡裂解为小涡、小涡再继续裂解的方式说明能量由大尺度流向小尺度^[9]。20世纪40年代, 柯尔莫哥洛夫提出局部各向同性假设, 推导出惯性子区能谱随波数按负三分之五次方衰减的规律, 为湍流动能的尺度分析奠定基础^[10]。

把湍流动能作为求解变量引入工程计算, 始于20世纪60年代以后的两方程湍流模型。Harlow与Nakayama在1968年提出 k-ε 模型的雏形, Jones与Launder在1972年和1973年对其作了改进, 使含 k 与耗散率 ε 两个输运方程的模型得到广泛检验^[11]。1974年, Launder与Spalding在《The numerical computation of turbulent flows》中系统总结了这一模型, 标准 k-ε 模型由此成为应用最广的工程湍流模型之一^[12]。其常用常数取 C_μ = 0.09、C_1 = 1.44、C_2 = 1.92、σ_k = 1.0、σ_ε = 1.3^[13]。

在大气科学领域, 全国科学技术名词审定委员会于2009年公布“湍流能量”作为大气科学名词, 将其定义为大气运动湍流部分的动能^[5]。该量直接关系到边界层内动量、热量及物质的湍流输送, 是地气相互作用研究中的重要变量^[5]。

应用

在气象学中, 湍流动能是描述湍流强度与边界层稳定性的重要诊断量, 直接影响边界层内动量、热量和水汽的输送^[5]。方程中浮力产生项的符号决定层结的作用方向, 其为正时边界层混合较强, 为负时湍流输送会被明显抑制; 通量理查森数接近0.2时常被用作湍流受抑制的判据。在大气边界层内, 湍流动能的产生与耗散在不同高度并不相同, 近壁缓冲层处产生达到峰值, 对数区中产生与耗散趋于平衡^[14]。

在风能工程中, 湍流动能与湍流强度一起用于刻画风电机组来流的湍流水平, 既关系能量提取效率, 也影响机组的全寿命成本^[15]。海上大气边界层的湍流难以用传统原位手段测量, 多普勒激光雷达因便于布设而成为常用工具, 其反演的 TKE 在200米高度以内与独立估计值吻合较好^[15]。风电机组尾流会额外增加湍流动能, 大气层结通过改变来流剪切与湍流强度影响尾流中 TKE 的收支^[16]。

在计算流体力学中, 湍流动能是 k-ε、k-ω 等两方程湍流模型的核心求解变量^[17]。模型在求解 k 的同时求解耗散率 ε, 并由二者计算涡黏系数 $\nu_t = C_\mu k^2/\epsilon$, 从而闭合雷诺平均方程^[17]。工程上也常用湍流强度与特征长度估算入口处的 k 与 ε 作为边界条件^[6]。

局限

湍流动能只给出脉动能量的总量, 不含关于湍流尺度分布的信息, 单靠 k 无法确定涡旋的特征长度, 必须与耗散率或其他尺度量联合使用^[17]。在雷诺平均纳维-斯托克斯方程框架下, k 需由湍流模型闭合, 而模型普遍采用各向同性的涡黏假设, 对强旋流、强曲率流动和各向异性湍流的描述能力有限^[6]。标准 k-ε 模型还会在驻点附近高估湍流动能, 并且需要专门的近壁处理^[17]。

定义本身依赖对脉动量的平均, 平均时间或空间窗口的选取会影响所得数值^[1]。以风电场评估为例, 湍流强度若按整年平均值而非10分钟平均值取用, 会给发电量与效率估计带来明显误差^[16]。在海上环境, 不同观测方法得到的 TKE 之间存在差异, 且其时间变率往往大于方法之间的差别^[15]。

参见

• 湍流 —— 湍流动能所描述的随机脉动运动本身。

• 雷诺应力 —— 与湍流动能直接相关、由速度脉动关联构成的应力项。

• 能量级串 —— 湍流动能由大尺度向小尺度传递并最终耗散的机制。

• 柯尔莫哥洛夫微尺度 —— 湍流动能被黏性耗散的最小尺度。

• 计算流体力学 —— 湍流动能作为求解变量的主要数值应用领域。

• 大气边界层 —— 常用湍流动能诊断其湍流强度与稳定性。