振型

定义

振型指的是弹性体系自身所固有的振动形式，通常用质点在振动过程中的相对位置，也就是振动曲线来加以描述^[1]。它是一个相对量：当体系中各质点的位移同时按相同倍数增大或缩小时，各点之间的比例关系并不改变，因此振型与振动位移的绝对大小无关^[1]。

多自由度体系具有多个自由度，因而会同时出现多个自振频率和与之相应的多种振型^[1]。按自振频率由低到高排序，相应的振型依次称为第一阶振型、第二阶振型等，其中与最低自振频率对应的一阶称作基本振型，又称第一振型；频率越高，振动周期越短^[1]。理论计算得到的振型与结构实际的振动形态未必完全相同^[1]。

在一般初始条件下，实际结构所表现出的振动形态并不是某个规则的形状，而是各阶振型相互叠加的结果^[1]。在模态分析中，一个模态由固有频率、阻尼比和模态振型共同描述，三者一起构成结构的模态参数^[2]。

原理

对无阻尼线性离散体系，自由振动方程可以写成 $M\ddot{u}+Ku=0$。假设解具有简谐形式 $u(t)=\phi\cos(\omega t)$，代入后约去与时间有关的项，即得到广义特征值问题 $K\phi=\lambda M\phi$，其中特征值 $\lambda=\omega^2$ 表示固有频率的平方，与之对应的特征向量 $\phi$ 就是该阶振型^[3]。

该特征值还可以借助瑞利商 $\lambda=\dfrac{\phi^{T}K\phi}{\phi^{T}M\phi}$ 表达，其物理含义是振动中最大势能与最大动能相等时所对应的固有频率平方^[3]。振型由体系的质量与刚度分布决定，与外部激励无关；离散体系的模态数目等于其自由度数，连续体系则存在无穷多阶模态^[4]。

不同阶振型之间满足正交关系，当 $i\neq j$ 时 $\phi_i^{T}M\phi_j=0$、$\phi_i^{T}K\phi_j=0$^[3]。这意味着某一阶振型运动所产生的惯性力与弹性力，在另一阶振型上所做的功为零，各模态之间不发生能量交换^[4]。为便于计算和比较，通常还要对振型作归一化处理，例如令 $\phi_i^{T}M\phi_i=1$^[3]。

借助正交性，结构的任意振动响应都可以展开为各阶振型的线性组合 $u(t)=\sum_i \phi_i q_i(t)$，式中 $q_i(t)$ 称为模态坐标^[3]。由此，原本相互耦合的多自由度运动方程组被分解为若干彼此独立的单自由度方程，这是模态叠加法的数学基础^[4]。

在无阻尼或比例阻尼体系中得到的通常是实振型，各点振动同相或者反相；当阻尼不满足比例条件时，往往出现复模态，各点位移之间会存在相位差^[3][4]。阶数较高的振型在空间上会出现振型节点或节线，节点处没有振动信号，节点两侧的振动方向相反^[1]。

发展历程

以振动模态描述结构动力特性的基本原理，最早可以追溯到瑞利的工作，距今已有一个世纪以上^[5]。有文献认为实测模态分析开始于20世纪30年代，最初用于飞机模态参数的测量^[6]。也有资料把现代实验模态分析的起点定在20世纪40年代，当时的研究目标是准确预测飞机的颤振，受测量传感器和模拟处理手段的限制，测试过程费时，多数场合难以实际应用^[7]。

20世纪60年代快速傅里叶变换算法问世，1965年由库利与图基提出，为实验技术在结构动力学领域的应用创造了条件^[8]。数字计算机在70年代得到应用，进一步推动了这一方向，以频响函数为依据的模态参数识别成为主流做法^[7][8]。

有限元法在20世纪60年代逐步确立，模态分析随之成为多自由度振动数值分析的核心技术，并广泛进入工程实践^[9]。

20世纪70年代以后，各类模态参数识别方法相继提出，最小二乘复指数法、1985年提出的特征系统实现算法等成为代表性成果^[10]。测试手段也从单一的正弦激励扩展到宽频带激励和多点激励，实验模态分析逐步发展为结构动力学中的常规技术^[9][10]。

应用

抗震设计是振型应用最广泛的领域之一。相关技术规程规定，高层建筑结构宜采用振型分解反应谱法，对质量与刚度不对称、不均匀的结构以及高度超过100m的高层建筑，应采用考虑扭转耦联振动影响的振型分解反应谱法^[11]。由于高阶振型受阻尼衰减的影响更明显，工程抗震设计中一般只考虑较低的数阶振型^[1]。

当外部激励的频率与结构某阶固有频率相等时，结构会产生与该阶振型相对应的变形模式^[2]。若建筑物按照自身的某一振型发生挠曲，就会在该振型内引起共振，因此振型是判断共振风险、开展振动控制设计的依据^[12]。

试验模态分析依据输入输出数据、频响函数或脉冲响应函数确定频率、阻尼和振型等参数，结果主要用于结构动力学模型的修正，并为结构动力学分析、气动弹性分析和振动控制设计提供数据支撑^[10]。航空领域是较早的应用方向，飞机原型机在研制中通常要进行地面振动试验^[8]。

实测振型还被用于损伤识别、模型验证与结构修改等工作^[13]。有限元模态分析则广泛用于汽车、土木、航空航天、发电等行业的振动特性评估与优化^[8]。

局限

经典模态分析建立在线性、时不变、互易和可观测等基本假设之上，实际结构通常只能近似满足这些条件^[7]。非线性体系不能直接运用叠加原理，运动方程难以解耦，其模态特性还与能量大小有关，目前尚无统一的非线性模态分析方法^[10]。

对于时变结构，严格来说并不存在模态这一概念，工程上通常是在一段时间内把结构参数视为冻结不变，再作近似处理^[10]。当阻尼不满足比例条件时，体系会出现复模态，简单的正交性与叠加性只在状态空间中成立^[4]。

在试验识别中，测点数量远少于有限元模型的节点数，若测量自由度不足，就无法唯一地描述所关心的振型，还可能产生空间上的混叠^[14]。此外，模态截断会带来误差，一般需要检查有效模态质量所占的比例，据此确定保留的模态阶数^[3]。

试验模态分析对测试人员的经验依赖较强，目前缺少统一的极点选择规范，测试结果的可重复性较差^[10]。同时，理论计算所得的振型与结构实际振动形态之间也存在差异^[1]。

参见

• 模态分析 —— 通过固有频率、阻尼比和振型描述结构动力特性的方法。

• 固有频率 —— 与振型一一对应、由体系质量和刚度决定的振动频率。

• 有限元法 —— 通过离散化求解特征值问题、获得计算振型的常用数值方法。

• 振型分解反应谱法 —— 以各阶振型叠加为基础计算地震作用效应的抗震设计方法。

• 共振 —— 激励频率接近固有频率时结构响应显著放大的现象。