正交性是内积空间中的一种基本关系，指两个对象在给定内积下的内积为零，直观上相当于几何中互相垂直。在二维或三维欧氏空间里，两个向量正交等价于点积为零、夹角为直角；把内积的定义推广到函数、信号等对象后，同一概念也适用于它们。正交性使一组对象彼此没有共同分量，因而可以被独立地分解、叠加与处理，是傅里叶分析、通信和数值计算等领域的重要基础。
定义
正交性依赖内积而定义，只有在一个确定了内积的内积空间里，谈论两个对象是否正交才有意义。若空间中两个向量的内积等于零，就称它们正交，通常记作 u⊥v。[1][2] 内积为零意味着二者没有共同分量，一者在另一者方向上的投影为零。
在欧氏空间中，两个向量正交当且仅当它们的点积为零，此时二者夹角为90°，所以正交可以理解为垂直这一直观概念的推广。[3][1] 进一步地，若某向量与一个子空间中的每个向量都正交，则称该向量与该子空间正交；若两个子空间中任一向量都与另一子空间正交，则二者互为正交子空间。[4]
把内积的定义扩展到函数之后，同一概念也适用于函数。对区间上定义的两个函数，通常以它们乘积在该区间上的积分作为内积，当积分值为零时称两函数正交；若内积中还乘上一个权函数，则得到带权意义下的正交。[3][5]
原理
正交性的核心含义是投影为零。设 $u$ 与 $v$ 是内积空间中的两个向量，$u \perp v$ 等价于 $\langle u, v\rangle = 0$；对函数 $f$ 与 $g$ 而言，相应的条件常写作 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx = 0$。[3]
由此可以推出若干基本性质。一组两两正交的非零向量必然线性无关；如果其中每个向量的范数都等于 1，这样的向量组称为规范正交系，也叫标准正交系。[6]
在 n 维欧氏空间中，n 个两两正交的向量构成一组正交基，空间中的任一元素都可以表示为这组向量的线性组合，而各个表示系数可由内积直接算出。[6]
正交还使叠加后的长度计算得以简化：当 $u \perp v$ 时，$\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$，这是勾股定理在抽象空间中的推广。[7] 对于任意一组线性无关的向量或函数，可以借助格拉姆-施密特正交化过程逐步构造出与之等价的正交组，做法是从每个新对象中减去它在已得正交对象上的投影。
发展历程
正交的概念最初来自几何。两条直线相交成直角时互为正交，用向量语言来说就是二者互不依赖，沿其中一条移动不会改变它在另一条上的投影位置。[8]
18 世纪末，勒让德在研究均质旋转体的引力问题时提出了一类多项式函数，它们后来被称为勒让德多项式；19 世纪，英国数学家托德亨特为这类函数定名并采用了沿用至今的记号 P_n。[9] 这类多项式在给定区间上两两正交，是通过正交化方法生成正交函数族的早期例子。
20 世纪，随着希尔伯特空间等抽象空间理论的形成，正交性由有限维向量空间推广到一般的无穷维函数空间，按正交函数组展开函数也随之成为傅里叶级数与谐波分析的基础。[5]
此后，正交性在工程中逐渐成为多载波通信与扩频通信的理论依据：把信道划分成彼此正交的子信道，或者用相互正交的码序列区分不同用户，都可以让各路信号在接收端被分离开来。[10][11]
应用
在信号分析中，不同频率的正弦函数与余弦函数在一个完整周期上互相正交，因此信号可以分解为一系列频率分量，这正是傅里叶分析的基础。[5]
在通信领域，正交频分复用把可用频带划分成若干相互正交的子载波，各路信号在接收端无须先分离频谱即可解调，相比传统频分复用提高了频谱利用率，在向 B3G/4G 演进的过程中被视为关键技术之一。[10]
码分多址系统为每个用户分配不同的地址码，靠码型而非频率或时间来区分用户；其中常用的沃尔什函数可以构成正交沃尔什码，用作地址码来实现码分多址。[11]
在数值计算与物理学中，正交性同样应用广泛：由正交多项式构成的函数族可用于函数逼近与数值积分，勒让德多项式的零点被用作高斯求积的节点；[9] 量子力学中，属于同一厄米算符的不同本征值的本征函数互相正交。[8]
局限
正交性只在给定内积之下成立。同一个对象与另一个对象在一种内积下正交，换用另一种内积后未必仍然正交，因此脱离内积谈论正交没有意义。[3][1]
工程实现中往往只能逼近理想的正交。码分多址系统的地址码受技术条件限制难以做到完全正交，通常只能称为准正交，用户之间因此存在多址干扰。[11]
正交频分复用对频偏较为敏感：移动信道中的频率偏移会破坏子载波之间的正交性，使各子信道相互干扰，因此接收端在变换之前必须估计并补偿频率偏差。[10]
在计算方法上，经典的格拉姆-施密特过程在处理接近线性相关的向量时会出现数值不稳定的问题。
参见
参考资料
- 正交 . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-正交 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- Orthogonality (mathematics) . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-正交子空间 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- epfl.ch 上的网页 . epfl.ch [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-规范正交系 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 向量的内积 . github.io [引用日期2026-09-29]
- 正交性_百度百科 . baidu.com [引用日期2026-09-29]
- Legendre polynomials . ru.nl [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-正交频分复用 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- 中国科普博览＿电信博物馆 . cnkepu.cn [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T11:48:09Z
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