布居数

定义

布居数指分布在某一个能级、量子态或空间位置上的粒子数^[1]。按能级考察时，它常记作 N_i，表示能量为 E_i 的粒子有多少^[3]。在分子光谱与化学热力学的讨论中，它也被表述为占据某一状态的分子平均数^[5]。

在量子力学中，全同粒子体系的状态可以用各个单粒子态上的粒子数目来标记，这个数目就是占据数^[2]。由确定的占据数描写的多粒子态称为 福克态，也叫粒子数态^[6]。体系中全部量子态的占据数之和等于粒子总数^[7]。

原理

热平衡条件下，处于两个能级的粒子数之比由 玻尔兹曼分布 给出，与两能级的能量差和温度有关^[3]。由于高能级的能量更大而温度取正值，高能级布居数通常远少于低能级，能级间隔远大于热运动能量时尤其如此^[4]。温度升高后，会有更多分子被激发到较高的能量状态^[5]。

对于全同量子粒子，占据数的取值范围取决于粒子类型：费米子的每个量子态最多容纳一个粒子，占据数只能取 0 或 1；玻色子不受这一限制，占据数可取任意非负整数^[2]。相应的平均占据数分别由 费米-狄拉克分布 和 玻色-爱因斯坦分布 描述，当平均占据数远小于 1 时，两者都趋近经典的玻尔兹曼分布^[2]。

若高能级布居数超过低能级，即 $N_2 > N_1$，受激辐射产生的光子数多于被吸收的光子数，介质对入射光表现为放大而非吸收^[4][8]。这种分布与热平衡分布相反，称为布居反转，两个能级布居数之差称为反转粒子数^[4]。按玻尔兹曼分布反推，布居反转对应形式上的负温度，但体系本身并不处于热平衡^[4]。

发展历程

对能级布居数分配的定量规律来自经典统计物理。玻尔兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到保守力场中的情形，得到以他命名的分布律，此后粒子在各能级上的分配有了统一描述^[9]。

1917 年，爱因斯坦在解释黑体辐射定律时提出 受激辐射 等概念，为讨论能级布居数与光放大的关系提供了基础^[4]。1928 年，兰登伯在研究氖气色散时发现，激励电流超过一定值后，高能级氖的布居数随电流增大而增多^[4]。1951 年，珀塞尔在核磁共振实验中实现反转分布并提出负温度概念^[4]。1955 年，巴索夫和普罗霍洛夫提出用三能级方法实现布居反转^[4]。

1954 年出现第一台微波激射器，1960 年第一台红宝石激光器运转，波长约 694 纳米，同年氦氖连续激光器实现，波长约 632.8 纳米^[8]。这类器件都依靠工作物质中特定能级之间的布居反转来获得光放大^[8]。

应用

布居反转是激光工作的必要条件之一，此外还需要光学谐振腔并满足阈值条件^[4]。由于二能级系统无法形成反转，实用 激光器 多采用三能级或四能级方案，通过泵浦把粒子抽运到高能级，并借助无辐射跃迁使粒子在亚稳态上积累^[8]。

在量子光学与量子信息领域，占据数确定的福克态可由单光子源以及腔量子电动力学、超导量子比特、离子阱等体系制备，并用于双轨编码和玻色子采样等任务^[6]。

在凝聚态物理中，晶格振动模的平均占据数即该模式上声子的平均数，它随温度升高而增大，并直接联系到固体的热容等宏观性质^[10]。天体物理中的宇宙微波激射器等现象，也以布居反转为条件自然发生^[11]。

局限

布居反转无法通过加热等平衡手段取得。在二能级系统中，即使温度极高或外场极强，激发态与基态的粒子数最多只能趋于相等，因此实现不了反转，它也不是热平衡的稳态解，必须依靠泵浦等外部激励维持^[12]。

玻尔兹曼分布只适用于粒子间相互作用可以忽略的经典气体^[2]。当平均占据数不满足远小于 1 的条件时，粒子表现出明显的量子统计特征，必须改用费米-狄拉克或玻色-爱因斯坦统计^[2]。

依靠布居反转实现的光放大还受增益饱和限制：强光会以快于泵浦补充的速度消耗反转粒子数，使增益不再随光强线性增加^[13]。

参见

• 粒子数反转 —— 高能级布居数超过低能级时的非平衡状态。

• 玻尔兹曼分布 —— 描述热平衡下各能级布居数分配的统计规律。

• 费米-狄拉克分布 —— 费米子平均占据数所服从的统计分布。

• 玻色-爱因斯坦分布 —— 玻色子平均占据数所服从的统计分布。

• 福克态 —— 占据数确定的多粒子量子态。

• 激光器 —— 以布居反转和光放大为基础的相干光源。