均匀设计

定义

均匀设计是一种以试验点在试验范围内尽量均匀散布为准则的试验设计方法，又称均匀设计试验法或空间填充设计^[1]。从均匀性的角度看，它是一类偏差最小、均匀性最大的 U 型设计；所谓 U 型设计，是指每个因素的各个水平在设计中出现的次数相同的一类安排^[4]。其数学原理来自数论中的一致分布理论，是伪蒙特卡罗方法在试验设计中的应用^[1]。该方法由方开泰与王元在 1978 年提出，是把数论方法与多元统计结合起来、在正交设计基础上形成的新方法^[3]。

与其他试验设计一样，均匀设计的任务是在试验范围内挑选有代表性的试验点^[1]。正交设计在挑选代表点时同时要求均匀分散与整齐可比，均匀设计则只保留均匀分散这一条^[3]。这一取舍使得均匀设计所需的试验次数可以与因素水平数相当，而正交设计至少要达到水平数的平方^[1][5]。代价是试验结果不再具有整齐可比性，分析时一般不采用方差分析，而以回归分析为主要工具^[1]。

背景

20 世纪 60 年代，华罗庚在我国倡导并普及的优选法，以及数理统计学者在工业部门推广的正交设计，是当时常用的两类试验设计方法^[6]。优选法面向单变量问题，处理多因素时只能固定其他因素、突出一个因子^[6]。正交设计能够安排多因素试验，其试验次数比全部水平组合少得多，但在一些工业试验和昂贵的科学试验中仍然偏多^[6]。

1978 年，第七机械工业部因导弹设计提出一项涉及 5 个因素的试验，每个因素需要设定 18 个以上水平，总试验次数却要求控制在 50 次以内，优选法与正交设计都无法胜任^[6]。方开泰此前曾就多重积分的近似计算问题向王元请教，由此想到把数论方法用于试验设计；两人合作数月得到第一批均匀设计表，并于 1978 年刊登在内部资料《概率统计通讯》第一期上^[2]。1981 年，王元执笔撰写英文短文投给科学通报，均匀设计的理论与方法由此为国内外学界所知^[2]。

内容

均匀设计的实施依靠一套预先构造好的均匀设计表，每张表都配有使用表，用来指明按因素个数应当选取哪几列^[7][8]。使用表一般还会给出相应安排的偏差值，偏差越小，说明试验点在试验范围内的分布越均匀^[9]。除按近似偏差准则构造的表以外，也有研究者以中心化 L2 偏差为准则给出并公布了可供查用的均匀设计表^[9]。

均匀设计适合在因素与水平都较多、对模型所知有限的场合使用，对非线性模型也能给出较好的估计^[10]。它既可用于计算机仿真试验，也可用于含有随机误差的实际试验^[11]。由于不具备整齐可比性，试验结果需要借助回归分析建立模型、寻找较优条件，因此对建模与计算工具的依赖较强^[1]。

该方法的应用领域包括航天、化工、制药、材料、汽车等^[1][2]。在中药研究中，均匀设计被用于复方配伍规律与制剂工艺的优化^[12]；在涂料配方设计^[7]、针灸科研^[13]、岩土工程的参数反演^[10]等方面也有应用记录。

影响与争议

1994 年 4 月，民政部批准成立中国数学会均匀设计分会，方开泰担任理事长，王元担任顾问，此后分会组织了多届学术研讨会与培训班^[14]。2008 年，王元、方开泰完成的“均匀试验设计的理论、方法及其应用”获得国家自然科学奖二等奖^[14]。

该方法也存在若干限制。由于放弃整齐可比，试验结果不能像正交设计那样直接通过方差分析估计各因素的主效应与交互效应^[1]。有研究者提醒，应用时不宜片面追求过少的试验次数，应当重视关键因素的筛选和试验范围的确定^[10]。在中药复方研究中，均匀设计在指标评价、药物因素范围的选择、因素与水平的设定以及因素间交互作用等方面存在局限，其应用仍有发展空间^[12]。

参见

• 方开泰 —— 与王元共同提出均匀设计并长期推动其理论与应用的统计学家。

• 王元 —— 与方开泰共同提出均匀设计、并为该方法撰写首批论文的数学家。

• 正交设计 —— 均匀设计在其基础上发展、并被放弃整齐可比条件的一类试验设计方法。

• 回归分析 —— 处理均匀设计试验结果、建立近似模型与寻优的常用分析手段。

• 试验设计 —— 均匀设计所属的方法类别。