方差分析

定义

方差分析要回答的问题是若干总体的均数是否相等。以单因素方差分析为例，设有 $k$ 个水平（组），第 $i$ 组的第 $j$ 个观测值记为 $x_{ij}$，原假设为 $H_0: \mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$，备择假设为至少有一组均数与其他组不同 ^[3]。检验的出发点是总离均差平方和的可加分解，即 $SS_{T}=SS_{B}+SS_{W}$，其中 $SS_{B}$ 为组间平方和，$SS_{W}$ 为组内（误差）平方和 ^[1]。

把各项平方和除以相应的自由度得到均方，再以组间均方为分子、组内均方为分母，即得检验统计量 $F=\dfrac{MS_{B}}{MS_{W}}$。在原假设成立的条件下，该统计量服从 F分布，其分子自由度为组数减 1，分母自由度为总样本量减组数 ^[5]。当处理没有实际效应时，组间均方与组内均方之比接近 1；当处理确有效应时，该比值会明显大于 1，由此可以判断各组均数之间的差异是否具有统计学意义 ^[1]。

背景

在方差分析出现之前，比较多组均数的常见做法是逐对进行 t检验。组数增加时，需要完成的比较次数增长很快，犯第一类错误（错误地拒绝本来成立的原假设）的累积概率也随之上升，因此需要一种能够整体控制该错误概率、同时处理多组比较的方法 ^[6][4]。

20 世纪初，罗纳德·费雪在罗瑟姆斯特德农业试验站工作，他从长期积累的农业试验数据出发，提出随机化、重复与区组等 实验设计 原则，方差分析正是在分析这类田间试验结果的过程中发展起来的 ^[7][8]。费雪在 1918 年的论文中首次使用「方差」这一术语，1921 年发表方差分析的最早应用，1925 年出版的《研究工作者的统计方法》系统阐述了该方法，此后方差分析逐渐被各领域研究者采用 ^[9][4]。

内容

方差分析的基本思想是对总变异作来源分解。数据的波动来自两方面：一是研究中施加的、可控制的因素，二是不可控的随机误差；组间变异衡量各组均数与总均数的偏离程度，组内变异则反映同一组内部观测值之间的随机差异 ^[1][10]。通过比较这两部分变异的大小，可以判断可控因素对结果的影响是否显著 ^[1]。

应用方差分析一般要求满足三项前提条件：观测值之间相互独立、各组数据来自正态分布总体、各组总体方差相等即方差齐性 ^[11]。按照设计类型的不同，方差分析有单因素、双因素以及多因素等形式；单因素情形只考察一个分类自变量，双因素情形可同时考察两个因素的影响并检验它们之间的交互作用 ^[10][12][6]。

当整体检验达到显著时，只能说明至少有一组均数与其他组不同，无法指出差异具体出现在哪些组之间，因此常需进一步做事后多重比较，例如 Tukey HSD、Bonferroni、Dunnett 等方法 ^[13][6]。两独立样本的 t 检验可以视为单因素方差分析在只有两组时的特例 ^[10][4]。

当方差齐性不满足时，可以改用不要求各组方差相等的 Welch 或 Brown-Forsythe 方法；当数据严重偏离正态分布时，则可使用 Kruskal-Wallis 检验等非参数方法 ^[11][5]。

影响与争议

费雪 1925 年的著作已经论及双因素方差分析，1934 年弗兰克·耶茨（Frank Yates）给出了各格样本数不相等时（不平衡数据）的分析程序，相关文献此后持续增长 ^[12]。1993 年藤越康祝（Yasunori Fujikoshi）对不平衡数据的双因素方差分析模型进行了综述；2005 年安德鲁·格尔曼（Andrew Gelman）提出，可以把方差分析看作一种多层模型，作为处理同类问题的另一条途径 ^[12]。

在适用条件方面，有研究者指出：单因素情形下若各组例数相同或总体近似正态，方差分析模型对轻度方差不齐有一定耐受性，通常最大方差与最小方差之比小于 3 时结果较为稳定 ^[14]；但若各组样本量不等且方差不齐，整体 F 检验的 p 值可能不可信，此时应改用不要求方差相等的方法 ^[11]。

也有观点认为，先做整体 F 检验再做事后比较并非唯一选择：如果研究者在分析之前就已明确关心哪些组之间的比较，采用事先计划的比较可能比方差分析配合事后比较更为合适 ^[3]。

参见

• 罗纳德·费雪 —— 方差分析的提出者，并系统建立了随机化与实验设计理论。

• t检验 —— 两独立样本 t 检验是单因素方差分析在两组情形下的特例。

• F分布 —— 方差分析所用检验统计量在原假设下服从的分布。

• 假设检验 —— 方差分析属于统计假设检验，通过原假设与备择假设作出判断。

• 多重比较 —— 在方差分析整体显著后用于确定具体组间差异的方法。

• 实验设计 —— 随机化、重复与区组等设计原则是方差分析的应用基础。