切比雪夫多项式是一族与棣莫弗定理相关、可按递推方式定义的正交多项式，通常分为第一类（记作 Tn）与第二类（记作 Un），以俄国数学家切比雪夫命名。[1][2] 它们在区间 [-1,1] 上带权正交，第一类多项式在该区间上的绝对值不超过 1，并且是所有首项系数固定的同次多项式中在 [-1,1] 上偏离零最小的一族。[3][4] 这些性质使它们成为函数逼近、数值积分与滤波器设计中的常用工具。[5][6]
定义
切比雪夫多项式通常分为两类。第一类记作 Tn(x)，其中 n 为非负整数，在区间 [-1,1] 上它可写成 Tn(x)=cos(n·arccos x)；第二类记作 Un(x)。两类共用同一个三项递推关系，区别只在初始值：第一类从 T0(x)=1 与 T1(x)=x 出发，第二类从 U0(x)=1 与 U1(x)=2x 出发，其后均满足 Pn+1(x)=2x·Pn(x)-Pn-1(x)。[7][8]
按递推式逐步计算可得 T2(x)=2x^2-1、T3(x)=4x^3-3x、T4(x)=8x^4-8x^2+1 等。[8] 每个 Tn 与 Un 都是 n 次多项式，n 不小于 1 时第一类的最高次项系数为 2 的 n-1 次幂；n 为偶数时 Tn 是偶函数，n 为奇数时是奇函数，第二类同样如此。[4]
两类多项式也可由微分方程刻画：第一类是 (1-x^2)y''-xy'+n^2·y=0 的解，第二类满足 (1-x^2)y''-3xy'+n(n+2)y=0。[9][2] 两类之间也存在换算关系，例如 Tn(x) 可用 Un(x) 与 Un-2(x) 的差表示。[10]
原理
第一类切比雪夫多项式在区间 [-1,1] 上以 w(x)=(1-x^2) 的 -1/2 次幂为权函数正交：m 与 n 不相等时，Tm(x)Tn(x)w(x) 在 [-1,1] 上的积分等于 0；m=n=0 时积分为 π，m=n 且 n 不小于 1 时为 π/2。[3][11] 第二类多项式则关于权函数 (1-x^2) 的 1/2 次幂正交。[10] 由于该权函数在区间两端发散，这一组正交关系可看作余弦函数正交性的变形。[3]
切比雪夫多项式还具备极小极大性质：在所有首项系数等于 1 的 n 次多项式中，2 的 1-n 次幂与 Tn(x) 的乘积在 [-1,1] 上的最大绝对值最小，该最小值为 2 的 1-n 次幂。[4][12] 由余弦表达式还可知，当 |x| 不超过 1 时 |Tn(x)| 不超过 1，端点处 Tn(±1)=(±1)^n；在区间之外 Tn 随 |x| 迅速增大。[8][13]
令 x=cosθ，切比雪夫展开就与余弦级数一一对应，展开系数可由带权函数的积分求得。[3] 第一类多项式在 [-1,1] 内有 n 个零点 xk=cos((2k-1)π/(2n))，k 从 1 到 n，这些零点称为切比雪夫节点；在 x=cos(kπ/n)、k 从 0 到 n 处，Tn 正负交替地取得极值。[14][4]
graph LR
A["T0(x)=1, T1(x)=x"] --> B["T2(x)=2x·T1(x)-T0(x)"]
B --> C["T3(x)=2x·T2(x)-T1(x)"]
C --> D["T4(x)=2x·T3(x)-T2(x)"]
发展历程
1854 年，切比雪夫在研究蒸汽机中把转动变为近似直线运动的连杆机构时提出了函数的最佳逼近问题，并求出在 [-1,1] 上偏离零最小的首项系数为 1 的多项式，这被看作切比雪夫多项式的起点。[6][15] 同一年他还给出交错定理：一个次数不超过 n 的多项式成为最佳一致逼近多项式，当且仅当偏差在区间上存在 n+2 个符号交替的极值点。[16][17]
此后他又从连分数和矩问题入手，研究埃尔米特、拉盖尔等其他正交多项式族。[18] 1938 年，兰乔斯把切比雪夫多项式用于数值分析；20 世纪中叶电子计算机出现后，围绕它的函数逼近、数值积分与方程求解研究迅速增多。[6]
1960 年，Clenshaw 与 Curtis 提出一种在计算机上自动执行数值积分的方法，先把被积函数展开为切比雪夫级数，再对级数逐项积分。[11][19] 符号 T 的使用源于切比雪夫姓氏的法语转写 Tchébycheff。[5][15]
应用
切比雪夫多项式最直接的用途是函数逼近与插值。若把插值节点取为第一类多项式的零点，即切比雪夫节点，就可以明显减轻等距节点插值在区间端点附近的龙格现象，所得插值多项式接近连续函数在最大范数意义下的最佳逼近。[5][2]
在数值积分方面，Clenshaw-Curtis 求积先用切比雪夫多项式逼近被积函数，再对该多项式精确积分；提高逼近阶数即可改善精度并估计误差。[20][11]
在电子与信号处理领域，切比雪夫逼近被用来构造通带内等波纹的低通滤波器：其幅频特性在通带内于两个界限之间起伏，在阻带内单调下降。与巴特沃斯滤波器相比，满足同样指标所需的阶数通常更低，代价是脉冲一类时域信号的传输失真可能更大。[21][6]
切比雪夫多项式还用于微分方程与积分方程的数值求解，并常作为谱方法的展开基；在数值线性代数中，它因为对应极小极大问题而被用作逼近工具。[6][13]
局限
切比雪夫展开的收敛速度取决于被逼近函数在复平面上的奇点位置。如果函数能在一条以 [-1,1] 为焦点的伯恩斯坦椭圆内解析，误差随阶数提高按指数下降；奇点越靠近区间，收敛就越慢，此时通常需要把区间分段、作分段逼近。[22][23]
对于含有跳跃或其他不光滑点的函数，切比雪夫插值在间断附近会出现吉布斯现象：过冲的高度不随阶数提高而下降，只是振荡区域随之变窄。[24][25] 以绝对值函数为例，用全局多项式逼近时，最大范数意义下的最大误差不会随阶数增加而趋于零。[25]
此外，第一类多项式的正交性以 (1-x^2) 的 -1/2 次幂为权函数，该函数在区间两端发散，涉及端点的公式和算法需要单独处理；标准形式只定义在 [-1,1] 上，用于其它区间时须先作线性变换把区间归一化。[26][10]
参见
参考资料
- Chebyshev polynomials . oeis.org [引用日期2026-09-29]
- [科普中国]-切比雪夫多项式 . kepuchina.cn [引用日期2026-09-29]
- **Mathematical Tripos Part II: Michaelmas Term 2024** . cam.ac.uk [引用日期2026-09-29]
- AA215A-Lecture02(PDF) . stanford.edu [引用日期2026-09-29]
- Chebyshev polynomials - Skip to main content . epfl.ch [引用日期2026-09-29]
- S0377042700003496 . sciencedirect.com [引用日期2026-09-29]
- 切比雪夫多项式 . wikipedia.org [引用日期2026-09-29]
- Quantum spectral methods for differential equations . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- chebyu# . scipy.org.cn [引用日期2026-09-29]
- Chebyshev polynomials . nist.gov [引用日期2026-09-29]
- Mathematics of Computation . ams.org [引用日期2026-09-29]
- Chebyshev Polynomial - Chapters and Articles . sciencedirect.com [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- nasa.gov 上的 PDF 文件 . nasa.gov [引用日期2026-09-29]
- arxiv.org 上的网页 . arxiv.org [引用日期2026-09-29]
- Теорема Чебышёва . bigenc.ru [引用日期2026-09-29]
- 欢迎使用 GRID2008 数据库平台 - | shuzhi bijin . cnki.net [引用日期2026-09-29]
- core.ac.uk 上的 PDF 文件 . core.ac.uk [引用日期2026-09-29]
- oup.com 上的网页 . oup.com [引用日期2026-09-29]
- Integrands with weight functions . debian.org [引用日期2026-09-29]
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最近更新：2026-09-29T11:41:09Z
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