凸性

定义

凸性（convexity，又称凸度）描述债券价格与其到期收益率之间非线性关系曲线的弯曲程度，也就是这条曲线的曲率。^[1][2] 在数学上，它等于债券价格对收益率的二阶导数再除以债券价格本身，即 $C=\frac{1}{P}\frac{d^{2}P}{dy^{2}}$。^[3][4]

久期对应价格与收益率曲线在某一点处的切线斜率，属于一阶导数；凸性对应斜率本身的变化，属于二阶导数。^[5][6] 因此凸性也常被表述为久期对收益率的敏感程度，用来补充久期这一线性近似的不足。^[7]

原理

债券价格与收益率之间并不是线性关系，收益率每变动一个单位，价格的变动幅度并不固定，整条曲线向外凸出。^[1] 收益率小幅变动时，久期给出的线性估计误差不大；变动幅度扩大后偏差迅速增大，凸性正是对这一偏差的修正项。^[1][7]

设收益率变动为 $\Delta y$，价格的相对变动可用 $\frac{\Delta P}{P}\approx -D_{mod}\Delta y+\frac{1}{2}C(\Delta y)^{2}$ 近似表示，其中 $D_{mod}$ 为修正久期，$C$ 为凸性。^[5][4]

对于不含期权、票息固定的债券，凸性始终大于 0：收益率下行时价格上升的幅度高于久期的估计，收益率上行时价格下降的幅度低于久期的估计。^[7][8] 一般来说，到期期限越长、票面利率越低、到期收益率越低的固定利率债券，凸性越大。^[7] 以零息债券为例，其久期约等于到期期限，凸性约等于期限的平方。^[5]

flowchart LR

A[收益率变动] --> B[久期：一阶线性估计]

A --> C[凸性：二阶修正项]

B --> D[价格变动估计]

C --> D

发展历程

债券凸性的思想可追溯到赖鸿飞（Hon-Fei Lai）的研究，后由斯坦利·迪勒（Stanley Diller）推广。^[2] 中文资料多把 1984 年作为该概念的正式提出年份，迪勒的相关研究被视为把凸性引入固定收益证券分析、并指出仅有收益率与久期不足以评价证券价格表现的关键文献。^[9][10]

此后凸性与久期一同成为固定收益利率风险管理的基础度量，使用范围从单只债券扩展到债券组合，并针对含权债券发展出有效凸性等计算口径。^[7]

在中国市场，银行间债券的凸性一般优先采用中债估值给出的数值，交易所债券一般优先采用中证估值给出的数值，取不到时才使用系统模型计算。^[9]

应用

凸性最常见的用途是与久期配合进行利率风险管理，其中的典型是免疫策略。只匹配久期只能应对收益率曲线的小幅平行变化，而同时匹配久期与凸性可以把免疫成立的利率变动范围扩大，这一做法常被养老金等需要资产与负债匹配的机构采用。^[11][12]

在组合构建中，可以先设定目标久期与目标凸性，再通过求解方程组得到各只债券应占的权重。^[11] 在利率波动较大的环境里，久期相同的两只债券中凸性较高的一只被认为更有利。^[1]

凸性在交易与对冲中同样被使用。例如预期收益率曲线变陡时，会采用同时持有短端与长端、回避中段的杠铃式安排；抵押支持证券（MBS）的对冲者需要随收益率变化不断调整久期，其集中卖出行为可能引发所谓的凸性事件。^[13][14]

局限

久期与凸性的推导都以收益率曲线发生平行且瞬时的移动为前提，而现实中的曲线可能出现扭转、陡峭化或平坦化等非平行变化，这类变化无法被凸性完整刻画，对期限很长的债券尤其如此。^[15][7]

对于含内嵌期权的债券，例如可赎回债券和抵押支持证券，凸性可能为负，需要改用有效凸性；而有效凸性的计算依赖对发行人是否行使赎回权、借款人是否提前还款的判断，存在较大的不确定性。^[15][3]

凸性的计算需要知道各笔现金流的大小与发生时间，对现金流不确定的品种较为复杂。^[15] 利率变化后久期与凸性本身也会改变，原有组合可能不再处于免疫状态，需要通过再平衡来维持，而这会带来额外的交易成本。^[11] 常用的近似公式只取到二阶项，更高阶项的贡献未计入其中。^[16]

参见

• 久期 —— 衡量债券价格对收益率一阶敏感性的指标，与凸性共同构成利率风险度量。

• 修正久期 —— 久期的一种形式，与凸性配合用于估算收益率变动引起的价格变化。

• 到期收益率 —— 凸性度量所对应的自变量，债券价格与它之间的关系曲线即为凸性描述的对象。

• 免疫策略 —— 通过匹配资产与负债的久期和凸性来控制利率风险的资产负债管理方法。

• 可赎回债券 —— 含内嵌期权、在低利率环境下可能表现出负凸性的债券。

• 抵押支持证券 —— 因提前还款风险而常呈现负凸性的资产证券化产品。