共边定理

定义

有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形，例如共用边 AB 的 △PAB 与 △QAB。^[2] 共边定理的表述是：设直线 PQ 与直线 AB 交于点 M，则这两个三角形的面积之比等于点 P、Q 到交点 M 的线段之比，即 $\frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle QAB}}=\frac{PM}{QM}$。^[1][5]

定理对这一定理在 4 种位置情形下都成立：P、Q 两点可以位于直线 AB 的同侧或异侧，A、B 两点也可以位于直线 PQ 的同侧或异侧，四种图形对应同一个结论。^[1][2] 作为特殊情况，当 PB 与 AQ 平行时，这两个共边三角形的高相等、面积也相等；反过来，若两者的面积相等，则 PB 与 AQ 平行。^[2]

原理

定理的推理依据是一个更基本的事实：两个三角形若共高，它们的面积之比等于对应底边之比。^[6] 把共边的两个三角形分别与以交点 M 为顶点的三角形联系起来，就能把面积比逐层换算成同一条直线上线段的比，从而得到定理的结论。

一种证法是把 △PAB 与 △QAB 的面积比写成三个比的乘积，中间经过 △PMB、△QMB 过渡，相同的量相互约去，最后只剩下 PM 与 QM 的比。^[1] 另一种证法在直线 AB 上取一点 N，使 MN 与 AB 等长，此时 △PAB 与 △PMN 等积、△QAB 与 △QMN 等积，待求的面积比于是等于 △PMN 与 △QMN 的比，也就是 PM 与 QM 的比。^[1]

定理在消点法中的作用可以用下面的流程说明：

graph LR

A[两直线 AB 与 PQ 交于 M] --> B[面积比与线段比互换]

B --> C[面积方法算法化，形成消点方法]

^[3]

发展历程

系统面积方法的形成有一个过程。张景中在 1982 年提出了系统的面积方法，把面积当作处理平面几何的一般工具，这一工作到 1992 年发展为消点法。^[7] 在这一体系里，共边定理与共角定理是先行引入的两个基本工具，面积消点方法正建立在共边定理之上。^[3]

1992 年 5 月，张景中应邀前往美国卫奇塔州立大学，与周咸青合作研究，并同高小山一起用消点算法证明了近百条平面几何定理。^[8] 这套方法在命题成立时能够产生人容易检验和理解的证明，即可读证明。^[3]

此后，共边定理被写入《平面几何新路》等著作，成为张景中面积方法系列书籍的重要内容。^[9][3] 围绕这一定理的研究不断出现，既有把它与平行线、重心性质联系起来的工作，也有把它推广到空间情形的讨论。^[10][11] 1995 年，张景中当选中国科学院院士。^[8]

应用

共边定理在实际解题中的主要用途，是在面积比与同一直线上的线段比之间来回转化。^[12] 教学类文章围绕它的应用展开了不少讨论，内容涉及求线段比与面积比、证明与重心有关的结论，以及面积相等与直线平行的相互判定等。^[10]

在几何定理的机器证明中，它是消点法的主要工具之一，用于生成几何命题的可读证明。^[4][7]

此外，该定理还被推广到空间情形，用于立体几何中的计算与证明。^[11][10]

局限

共边定理处理的是面积与线段之间的比例关系，其结论不直接给出长度、角度的数值；当问题涉及垂线、角度等要素时，面积方法还需要引入勾股差等另外的工具。^[3]

定理的表述以两条直线相交为前提。若直线 AB 与直线 PQ 平行，交点 M 不存在，比值形式不再适用，此时只能就两个三角形等积的情形单独讨论。^[10][2]

在几何定理机器证明领域，代数方法与数值方法主要用于判定命题的真假，面积法与搜索法的长处则在于生成可读证明，共边定理的价值主要体现在后一类方法当中。^[7]

参见

• 共角定理 —— 与共边定理并列的系统面积方法基本工具，把面积比化为夹角两边乘积之比。

• 消点法 —— 以共边定理等消点公式为基础，逐层消去图形中约束点的解题与机器证明方法。

• 张景中 —— 提出系统面积方法并引入共边定理的数学家。

• 几何定理机器证明 —— 共边定理在计算机自动推理中的重要应用领域。

• 面积法 —— 共边定理所属的几何解题方法体系。