黄金分割率

定义

黄金分割率是一个数学常数,通常记作φ,其值约为1.6180339887。把长度为$L$的线段分成较长的一段$x$和较短的一段$L-x$,当$L:x=x:(L-x)$时,这样的分割就称为黄金分割,这个比值即为黄金分割率^[3]。它的倒数约为0.6180339887,与它自身的小数部分相同,这一性质使黄金分割率成为方程$x^2-x-1=0$的正根^[4]。

在欧几里得的《几何原本》中,这一比例被称为「中末比」,直到18世纪前后才通行黄金分割的名称^[5]。黄金分割率是无理数,不能写成两个整数之比;它同时也是代数数,是整数系数多项式的根^[2]。数值计算中一般取1.618,与圆周率取3.14159的做法类似。

原理

黄金分割率的准确值为$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,约等于1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072……^[5]。由定义式$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$令比值为$\varphi$,可化简为$\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$,即$\varphi^2-\varphi-1=0$,解得$\varphi$为上式^[3]。把这一关系式反复代入自身,可得到无穷连分数$\varphi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}$,这也使黄金分割率成为收敛速度最慢的连分数之一^[5]。

从代数角度看,黄金分割率同它的共轭$\Phi=\varphi-1$满足$\varphi-1=\frac{1}{\varphi}$和$\Phi+1=\frac{1}{\Phi}$的关系^[5]。以1为边长的正五边形,其对角线长度恰好等于$\varphi$;由对角线和底边组成的边长比为1和$\varphi$的三角形称为黄金三角形,五角星可由5个黄金三角形构成^[6]。几何作图可作出黄金分割点:已知线段$AB$,过点$B$作垂直于$AB$的线段$BD$且其长度为$AB$的一半,连接$AD$并截取$DE=DB$,再在$AB$上截取$AC=AE$,点$C$即为黄金分割点^[7]。

黄金分割率与斐波那契数列相邻两项之比相关。该数列从1、1开始,此后每一项为前两项之和,后一项与前一项的比值随项数增加逐渐趋于$\varphi$^[8]。由于数列各项都是整数,其相邻两项的比值是有理数,只能无限接近而不等于黄金分割率^[8]。

发展历程

公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,现代研究者据此推断该学派当时已接触甚至掌握黄金分割^[7]。公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯提出能否把线段分成不相等的两部分、使较长部分成为全长与较短部分的比例中项,并建立了相关的比例理论^[7]。

约公元前300年,欧几里得在《几何原本》中吸收了欧多克索斯的研究成果,系统论述了黄金分割。他在第六卷给出的定义是:当整条线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比时,就说这条线段被分成了中外比^[5]。欧几里得还证明了中外比是一个无理数^[5]。

中世纪以后,黄金分割经由阿拉伯数学家传入欧洲。1202年前后,比萨的斐波那契在《计算之书》中研究了正五边形、正十二面体等与黄金分割有关的几何形体,但没有把这一比例同他由兔子问题得到的数列联系起来^[9]。1509年,意大利数学家帕乔利出版《神圣比例》,推动了黄金分割理论的研究,书中插图由达·芬奇绘制^[5]。

1597年,马斯特林把黄金分割率的倒数算到约0.6180340^[5]。1608年前后,德国天文学家开普勒指出斐波那契数列相邻两项之比趋近黄金分割率,并把它称为「珍贵的宝石」^[5]。1753年,辛普森基于其连分数给出了黄金分割率的极限表示^[5]。

1835年,奥姆在《纯粹初等数学》中首次使用了「黄金分割」这一名称;1875年,萨利在英语中最早使用「黄金比例」一词,1898年克里斯托尔首次在数学语境中使用该词^[5]。1909年,美国数学家巴尔瓦斯建议用希腊字母φ表示黄金分割率,φ取自希腊雕塑家菲迪亚斯名字的首字母^[5]。20世纪50年代,黄金分割法被用于优选学。

应用

黄金分割率在几何作图中用于作出正五边形、正五角星等图形,线段上的两个黄金分割点可以确定正五边形和正五角星的顶点^[7]。以$\varphi$为长宽比可作出黄金矩形,该矩形去掉一个正方形后,余下部分仍是黄金矩形,这一自相似性质使它可以无限细分^[6]。

在数学与工程领域,黄金分割率的应用包括代数编码理论、线性时序电路、准晶体研究、植物叶序(biomathematics)以及计算机科学^[5]。在优选学中,黄金分割法又称0.618法,用于在给定区间内寻找单峰函数的最优点。

在自然界中,植物叶片在茎上的排列方式(叶序)、对数螺线等结构与黄金分割率及斐波那契数列存在关联^[2]。人体步态研究中,曾有研究测量步态支撑期与摆动期的时间比值,发现其与$\varphi$的倒数接近^[10]。

局限

黄金分割率的应用范围常被夸大。有研究者试图证明胡夫金字塔、帕特农神庙等建筑和雕塑大量采用了黄金分割比例,但后来的考察显示,这些对象实际测得的比值同黄金分割率的差距在许多情况下达到20%至30%甚至更多,相关说法多属误传^[5]。类似地,关于帕特农神庙以黄金矩形为立面基础的说法,也缺乏确凿证据^[9]。

在常数体系中,黄金分割率的重要性常被通俗读物高估。数学与自然科学中更常出现的常数是π和e,边长为1的正方形对角线长度√2在几何中出现的频率也高于$\varphi$,黄金分割率的实际应用场景相对有限^[6]。

所谓「完美人体比例」等于黄金分割率的说法同样缺少明确定义。人体存在多种比值,多数介于1与2之间,接近1.6的数值可能来自5/3、√2、21/13等多个不同的比例,并不能唯一指向$\varphi$^[6]。此外,黄金分割率是否为某一进位制下的正规数尚未得到证明^[2]。

参见

• 斐波那契数列 —— 相邻两项之比以黄金分割率为极限的整数数列。

• 欧几里得 —— 在《几何原本》中最早系统论述中外比的古希腊数学家。

• 几何原本 —— 记载中外比定义与作图方法、最早论述黄金分割的著作。

• 无理数 —— 黄金分割率所属的数类,不能表示为两个整数之比。

• 对数螺线 —— 与黄金分割率相关的自相似曲线,常被用来描述自然界中的螺旋结构。