黄金代换

定义

黄金代换是经典力学中用于处理天体运动问题的一个关系式，表达式为 $GM = gR^2$，式中 G 为万有引力常量，M 为中心天体的质量，g 为该天体表面的重力加速度，R 为天体半径^[1]。它由万有引力定律与重力公式联立推出，是中学物理和天体力学计算中反复使用的中间关系^[1]。

在中文物理教学中，这一关系被习惯称为黄金代换式，也被写作黄金代换公式^[2]。名称中的“黄金”来自它扮演的角色：已知天体表面的重力加速度时，gR² 可以替换掉不便直接测量的 GM，把天体表面与环绕天体两类条件对接起来^[3]。中国科学技术大学的讲义指出，该式对任何天体都适用^[4]。

原理

推导的出发点是：当天体自转可以忽略时，位于天体表面附近的物体所受的重力与它受到的万有引力大小相等^[1]。设物体质量为 m，可写出 $G\frac{Mm}{R^2} = mg$，等式两端约去 m 便得到 $GM = gR^2$^[3]。可见该式成立的关键前提，是把重力与万有引力看作同一大小的力。

该式最主要的用法是替换 GM。卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力充当向心力，即 $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$，其中 r 为轨道半径^[2]。把 GM 换成 gR² 之后，式子中只剩下天体表面的重力加速度与半径等较易获得的量^[5]。对绕同一中心天体运行的卫星而言，轨道半径越大，线速度与角速度越小，周期则越长^[3]。

由 $GM = gR^2$ 还能直接读出天体表面重力加速度的表达式 $g = \frac{GM}{R^2}$。这一写法说明，天体表面的 g 由该天体的质量与半径共同决定，而不是只取决于其中一项^[4]。

应用

求中心天体质量是常见用途之一。把 $GM = gR^2$ 变形可得 $M = \frac{gR^2}{G}$，只要测得表面重力加速度与天体半径，就能估出质量^[5]。若再把天体视为均匀球体，其体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3$，代入质量表达式后可进一步得到密度 $\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$^[6]。

求第一宇宙速度是另一个典型用法。近地卫星的轨道半径近似等于天体半径，由万有引力提供向心力可得 $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，用黄金代换代入后写成 $v = \sqrt{gR}$^[5]。对地球来说，这个速度约为 7.9 千米每秒^[7]。

当题目中中心天体质量未知而 g 与 R 已知时，可直接用 gR² 代替 GM 参与运算^[5]。若考察的是天体表面上方高度 h 处，把半径换成 R+h 后关系式仍可写成 $GM = g'(R+h)^2$，其中 g' 为该高度处的重力加速度^[8]。

在 2022 年 3 月的一堂公开物理课上，讲者用黄金代换把卫星速度公式中的引力常量与地球质量替换成地表重力加速度和地球半径^[7]。据此估算，地球同步卫星的轨道半径约为 4.26 万千米^[7]。

局限

黄金代换只在天体自转可以忽略时才成立。天体自转会使表面物体需要一个指向自转轴的向心力，重力仅是万有引力的一部分：在两极处向心力为零，重力等于万有引力；在赤道处向心力最大，重力最小^[4]。因此严格来说，只有两极位置的物体才精确满足重力与万有引力相等这一条件^[4]。

在自转较快的天体表面，万有引力需要同时提供重力和向心力，$G\frac{Mm}{R^2} = mg$ 不再成立，黄金代换也就失效^[1]。地球自转缓慢，物体随地球自转所需的向心力很小，一般可以略去，这是该式在多数问题中能够直接使用的原因^[4]。一旦题目涉及自转影响或要求计算向心力，就必须改用包含向心力项的完整方程^[1]。

在解题书写上还有一层限制：高考简答题中不允许直接引用该式，需要先写出原始公式 $G\frac{Mm}{R^2} = mg$，再化简过渡到 $GM = gR^2$^[1]。当题目给出赤道、两极或某纬度等具体位置时，自转不能略去，此时不宜使用黄金代换^[1]。

参见

• 万有引力定律 —— 黄金代换由该定律与重力公式联立推导得到。

• 重力加速度 —— 公式中的 g 即天体表面的重力加速度。

• 第一宇宙速度 —— 借助黄金代换可写成 gR 开平方的形式。

• 地球同步卫星 —— 其轨道参数常通过黄金代换与地表条件联系起来。

• 向心力 —— 天体自转时万有引力需分出向心力，这决定了黄金代换的适用范围。