高斯记号

定义

在研究数论问题时，常常需要把实数的整数部分与小数部分拆开，高斯记号就是为这种处理而设的一套符号^[1]。对任意实数 x，[x] 表示不大于 x 的最大整数，也称 x 的整数部分，写成 y = [x] 时又叫取整函数或高斯函数，其自变量取遍全部实数，函数值只落在整数上^[1][3]。

与之配合的 {x} 表示 x 的非负小数部分，由 {x} = x − [x] 定义，取值总在 0 与 1 之间，即满足 0 ≤ {x} < 1^[1]。于是任何实数都能唯一分解为整数与非负纯小数之和，也就是 x = [x] + {x}^[3]。遇到负数要特别留意，例如 [-1.2] 等于 -2 而非 -1，{-1.2} 等于 0.8^[1]。

原理

若整数 n 满足 n ≤ x < n+1，就规定 [x] = n，换句话说它取的是数轴上位于 x 左侧且离得最近的那个整数^[1]。例如 [3.14] = 3，[-1.2] = -2^[1]。对负数做取整时要朝更小的方向走，不能简单地把小数位抹掉^[1]。

由定义可直接推出几条常用性质：$[x] \le x < [x]+1$；当 n 为整数时 $[x+n]=[x]+n$；对任意两个实数还有 $[x]+[y] \le [x+y]$^[1][4]。取整函数属于不减的数论函数，而由 {x} = x − [x] 定义的小数部分函数是周期为 1 的周期函数^[4][5]。

y = [x] 的图象在每个区间 [n, n+1) 上是一段水平线段，整体呈阶梯状，并在所有整数点处出现跳跃^[4]。这一分解过程可以形象地表示如下：

flowchart LR

A["实数 x"] --> B["整数部分 [x]"]

A --> C["小数部分 {x} = x - [x]"]

此外还存在厄尔米特恒等式等更深入的结果，用于把多个取整项合并处理^[1]。

发展历程

把一个数的整数部分单独提取出来讨论的做法，最早见于 1798 年勒让德为证明关于阶乘中素因子指数的公式而给出的“整数部分”概念^[6]。

1808 年，高斯在给出二次互反律的第三个证明时采用了方括号 [x] 的写法，此后这一符号在文献中流传开来，人们也就把它称作高斯记号^[6][2]。高斯在同余关系上也引入过记号，他在 1801 年用 mod 表示两数之差能被某数整除^[7]。在 19 世纪，刘维尔等数学家的研究同样大量使用取整函数，只是各人所用符号并不统一^[7]。

1962 年，肯尼斯·艾弗森在《A Programming Language》一书中提出 floor 与 ceiling 两个名称，并给出 ⌊x⌋ 和 ⌈x⌉ 的写法^[6][8]。这两套符号后来逐渐被国际数学界接受，与方括号写法并行使用至今^[6]。

应用

在数论里，取整记号便于统计整除关系。比如 1 到 n 这 n 个整数中，能被 m 整除的数共有 [n/m] 个^[5]。它还是表述勒让德公式的工具：n! 的标准分解式中素数 p 的指数等于 [n/p] + [n/p²] + [n/p³] + … 这样一个只有有限项的求和式^[5]。

数学竞赛是这类题目集中出现的场合。据对第 1 届至第 38 届国际数学奥林匹克试题的统计，与高斯函数有关的题目约占总题量的 4%，最早出现在第 10 届的第 6 题^[4]。国内的“希望杯”等竞赛也常出现带取整号的问题^[9]。

在计算机中，向下取整被实现为 floor 函数，与向上取整的 ceil 函数相对。C语言的标准库、Python 的 math 模块、JavaScript 的 Math 对象都提供了这一功能，电子表格软件 Excel 也设有用于向下舍入的 FLOOR 函数。

局限

方括号 [x] 在外形上与表示区间、矩阵或集合的方括号接近，容易造成误读^[8][6]。有资料据此建议舍弃用方括号表示向下取整，改用 ⌊x⌋，把方括号让给其他含义^[8]。

“整数部分”这一称呼本身存在歧义。一部分文献把 [x] 定义为朝零截断，于是 [2.4] = 2 而 [-2.4] = -2，在负数情形下与向下取整的结果并不相同^[6]。

取整号内部也不能随意把常数因子搬出来，例如 n[x] 与 [nx] 一般不相等^[4]。取整符号之间同样不能像普通括号那样直接参与四则运算，处理含取整号的式子通常要先设法消去取整号^[10]。此外，由于在每个整数点处间断，取整函数并不存在幂级数展开^[6]。

参见

• 取整函数 —— 由向下取整得到的整数部分所构成的函数，是高斯记号的核心内容。

• 小数部分函数 —— 由 {x} = x − [x] 定义，与取整函数互为补充。

• 勒让德公式 —— 借助取整记号计算阶乘中素因子指数的公式。

• 同余 —— 高斯提出的另一种数论记号，与取整记号常同时出现。

• 数学竞赛 —— 带取整号的题目在其中的出现频率较高。