静电势

定义

静电势是刻画静电场的一种标量函数。静电场中某一点的静电势，等于单位正电荷置于该点时所具有的电势能，也等于把单位正电荷由该点移到电势参考点时电场力所做的功^[2]。它只由场源电荷和场点位置决定，与是否放入试探电荷无关，但数值会随零势参考点的选取而改变^[1]。在国际单位制中，静电势的单位是伏特，1 伏特等于 1 焦耳每库仑^[1]。理论计算常取无穷远处为零势点，工程上则多把大地表面取作零电位^[2][4]。

静电场中两点之间的电势之差称为电势差，也就是通常所说的电压，其大小等于把单位正电荷从一点移到另一点时电场力所作的功^[5]。电势差与零势点的选择无关，因而具有直接的物理意义^[6]。若选定 b 点为零势点，则 a 点的静电势就等于把单位正电荷由 a 移到 b 的过程中电场力所做的功^[5]。

原理

静电场是保守场：电荷在其中移动时，电场力所做的功只与起点和终点的位置有关，而跟经过的路径无关；沿任意闭合路径移动电荷一周，电场力做功为零^[3]。正是因为具备这一性质，才能为静电场定义一个只与空间位置有关的标量函数，即电势^[5][6]。电场强度与电势之间满足 $\vec{E}=-\nabla\varphi$，电场指向电势下降最快的方向，其大小等于该方向上电势的变化率^[7][8]。

静电势满足叠加原理，点电荷系在某点产生的电势，等于各点电荷单独存在时在该点产生电势的代数和^[1]。真空中点电荷 q 在距离 r 处产生的电势为 $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$，连续分布的电荷则用电荷密度对体积积分求得^[3]。由于电势是标量，叠加时只需代数相加，这比按矢量方式合成电场强度要简便^[6]。

电势相等的各点构成的曲面称为等势面，电场线处处与等势面垂直^[3]。在有电荷分布的区域，电势满足泊松方程 $\nabla^{2}\varphi=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$；在没有电荷的区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程 $\nabla^{2}\varphi=0$^[8][3]。若边界面上的电势已经给定，拉普拉斯方程在该区域内具有唯一解，这是求解静电边值问题的基础^[8]。

发展历程

势的概念来自人们对平方反比力场的研究。1785 年，法国物理学家库仑（Charles-Augustin de Coulomb）发表了描述静止带电粒子之间作用力的实验定律^[9]。此后，拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）给出无源区域内势函数所满足的方程，泊松（Siméon Denis Poisson）又把它推广到存在源的情形^[10]。1828 年，格林（George Green）在关于电与磁的数学分析论文中为这一函数引入了“势”的名称，并提出了后来以他命名的定理^[10][11]。1839 年，高斯（Carl Friedrich Gauss）发表论文严格论证了泊松方程，并从平方反比定律出发得到静电学中的高斯定理^[12]。

19 世纪中叶以后，静电势的数学表述与物理图像逐渐走向统一。麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在《电磁学通论》中把电势看作满足特定偏微分方程的量，并把拉普拉斯、泊松、格林和高斯等人的数学成果纳入以法拉第观念为基础的理论框架^[13]。开尔文与麦克斯韦在 1860 年至 1870 年前后的物理数学工作，把势的解析定义与物理含义结合起来，形成了此后普遍采用的表述^[14]。

求解静电势边值问题的方法也随之一并发展。格林函数法把边界条件与电荷分布统一处理，只需在给定条件下求出一次基本解，再通过积分即可得到任意电荷分布所对应的电势^[15]。此外还有在待求区域外虚设电荷以满足边界条件的镜像法，以及把求解区域离散化、用局部近似解拼合全局解的有限元法，后者在计算电磁势等工程计算中得到普遍使用^[15]。

应用

在电化学和半导体电化学中，电极的电势与电极内部电子的电化学势直接相关；用第一性原理方法建模时，通常以真空中的静电势或溶剂体相的静电势作为参考点来标定电极电势^[16]。在半导体器件仿真中，漂移-扩散模型把电场写成电势的负梯度，与电子、空穴的连续性方程耦合，构成需要数值求解的偏微分方程组^[17]。

在测量技术方面，开尔文探针力显微镜通过测量探针与样品之间的静电作用力来确定两者表面的伏打势差，从而得到表面电势的分布^[18]。静电屏蔽器件则利用导体内部电场为零、各处电势相等的性质，用金属壳体隔离外部电场对内部设备的干扰^[19]。在离子阱一类装置的设计中，人们通过在边界电极上构造特定形式的电势，得到所需的电场分布，以实现对带电粒子的约束^[7]。

由于电位差的测量技术相对成熟、操作也较简便，实际工作中常以电位而不是电场强度来描写静电场^[4]。电容器两极板之间的电压就是极板间的电势差，静电势与电荷量、电容之间满足 U=Q/C 的关系^[2]。

局限

静电势只对保守场才有定义。由变化的磁场激发的感生电场属于非保守场，其电场线是闭合的，电场力做功与路径有关，因而无法在整个空间定义唯一且单值的电势^[20][21]。只有导体参与其中、自由电荷重新分布并建立起静电场之后，才可以在导体两端讨论电势和电势差^[21][22]。

静电势的数值依赖于零势参考点的选取，孤立一点的静电势没有绝对意义，只有两点之间的电势差才具有确定的物理含义^[2][5]。此外，静电势是标量，本身并不包含电场方向的信息，必须对它求梯度才能还原出电场矢量^[7]。

求解静电势的边值问题时，仅有泊松方程或拉普拉斯方程并不能确定唯一的解，还必须给出边界面上电势或电场的取值条件；拉普拉斯方程只有在边界面上的电势已经确定时才具有唯一解^[8]。当待求区域没有边界时，解的唯一性会变得不明确，需要借助唯一性定理并配以适当的边界条件，才能得到确定的结果^[23]。

参见

• 电势能 —— 电荷在静电场中因所在位置而具有的能量，数值等于电荷量与其所在处静电势的乘积。

• 电势差 —— 静电场中两点静电势之差，等于单位正电荷从一点移到另一点时电场力所做的功。

• 电场强度 —— 描述静电场力的矢量物理量，等于静电势的负梯度。

• 等势面 —— 静电势相等的点构成的曲面，电场线处处与之垂直。

• 泊松方程 —— 把静电势的空间分布与电荷密度联系起来的微分方程。

• 感生电场 —— 由变化磁场激发的非保守电场，无法定义标量电势。